連續性

用極限去做

若（x，y）趨向於(x0,y0) s時候 f（x，y）的極限為f（x0，y0） 那麼函數連續

2可偏導性

若f（x，y）在對x的偏導和對y的偏導在（x，y）等於（x0，y0）的時候相等 那麼函數可偏導

3可微性

先假設函數可微， dz=f(x0,y0)dx+f(x0,y0)dy+w

然後根據 dz=f(x0+dx,y0+dy)-f(x0,y0) 這個式子解出W

如果w是根號下（x^2+y^2）的高階無窮小的話 那麼函數可微

對於一元函數來說，可導和可微是等價的，而對多元函數來說，偏導數都存在，也保證不了可微性，這是因為偏導數僅僅是在特定方向上的函數變化率，它對函數在某一點附近的變化情況的描述是極不完整的。

　　在數學中，一個多變量的函數的偏導數，就是它關於其中一個變量的導數而保持其他變量恆定（相對於全導數，在其中所有變量都允許變化）。偏導數在向量分析和微分幾何中是很有用的。

　　偏導數的幾何意義：

　　表示固定面上一點的切線斜率。

　　偏導數 f'x(x0,y0) 表示固定面上一點對 x 軸的切線斜率；偏導數 f'y(x0,y0) 表示固定面上一點對 y 軸的切線斜率。

　　高階偏導數：如果二元函數 z=f(x,y) 的偏導數 f'x(x,y) 與 f'y(x,y) 仍然可導，那麼這兩個偏導函數的偏導數稱為 z=f(x,y) 的二階偏導數。二元函數的`二階偏導數有四個：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

　　注意：

　　f"xy與f"yx的區別在於：前者是先對 x 求偏導，然後將所得的偏導函數再對 y 求偏導；後者是先對 y 求偏導再對 x 求偏導。當 f"xy 與 f"yx 都連續時，求導的結果與先後次序無關。