1. 函數必須是可導的；

2. 函數必須具有連續的變化；

3. 函數必須具有有限的值範圍。

:

①f(x)在x0及其左右近旁有定義；

②f(x)在x0的極限存在；

③f(x)在x0的極限值與函數值f(x0)相等。

函數連續性的定義:

設函數f(x)在點x0的某個鄰域內有定義,若 lim(x→x0)f(x)=f(x0), 則稱f(x)在點x0處連續。

若函數f(x)在區間!的每一點都連續,則稱f(x)在區間上連續。

間斷點的定義:

間斷點是指:在非連續函數y=f(x)中某點處xo處有中斷現象，那麼，xo就稱為函數的不連續點。

間斷點可以分為無窮間斷點和非無窮間斷點，在非無窮間斷點中，還分可去間斷點和跳躍間斷點。如果極限存在就是可去間斷點，不存在就是跳躍間斷點。

1、可去間斷點:函數在該點左極限、右極限存在且相等，但不等於該點函數值或函數在該點無定義。如，函數y=(x^2-1)/(x-1)在點x=1處。

2、跳躍間斷點:函數在該點左極限、右極限存在，但不相等。如函數y=|x/x在點x=0處。

3、無窮間斷點:函數在該點可以無定義，且左極限、右極限至少有一個不存在，且函數在該點極限為0。如函數y=tanx在點x=π/2處。

4、振盪間斷點:函數在該點可以無定義，當自變量趨於該點時，函數值在兩個常數間變動無限多次。如函數y=sin(1/x)在x=0處。

可去間斷點和跳躍間斷點稱為第一類間斷點，也叫有限型間斷點。其它間斷點稱為第二類間斷點。

設x0為任意點，只要證明，lim(x-->x0-)f(x)=lim(x-->x0+)f(x)=f(x0) 即可，（左極限=右極限=函數值）。理論上，證明在定義域的開區間任意一點x0有x→x0limf(x)=f(x0).閉區間還需要證明在端點處單側連續。實際上，如果題目沒有要求用連續的定義證明，那麼，指出這個函數是初等函數，所以連續，因為“一切初等函數在其定義域上是連續的"。如果是分段函數，還要單獨考察在分段點處的連續性。擴展資料：函數連續的定義：lim(x->a)f(x)=f(a)是函數連續充要條件。 在這點函數可導是連續的充分條件，不是必要條件，例如絕對值函數f(x)=|x|在x=0處連續但不可導 。

1、連續性定義：若函數f(x)在x0有定義，且極限與函數值相等，則函數在x0連續。

2、充分條件：若函數f(x)在x0可導或可微（或者更強的條件），則函數在x0連續。

3、必要條件：若函數f(x)在x0無定義、或無極限、或極限不等於函數值，則在x0不連續 。

4、觀察圖像（這個不嚴謹，只適用直觀判斷） 。

5、記住一些基本初等函數的性質，大部分初等函數在定義域內都是連續的。

6、連續函數的性質：連續函數的加減乘，複合函數等都是連續的。