{an}等差數列

要用等差數列前n項和公式以及角標和性質

若共有2n項,

S2n=2n[a1+a(2n)]/2

∵1+2n=n+(n+1)

∴a1+a(2n)=an+a(n+1)

∴S2n=n(an+a(n+1));

∵S偶=[a2+a(2n)]*n/2,

S奇=[a1+a(2n-1)]*n/2

a2+a(2n)=2a(n+1)

a1+a(2n-1)=2an

∴S偶/S奇=a（n+1）/an；

若共有2n+1項,

S（2n+1）=[a1+a(2n+1)]*(2n+1)/2

∵1+2n+1=(n+1)+(n+1)

∴∴a1+a(2n+1)=2a(n+1)

∴S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1）；

S偶=[a2+a(2n)]*n/2

S奇={a1+a(2n+1)]*(n+1)/2

∵2+2n=1+(2n+1)=2(n+1)

∴a2+a(2n)=a1+a(2n+1)=2a(n+1)

∴S偶=[a2+a(2n)]*n/2=na(n+1)

S奇={a1+a(2n+1)]*(n+1)/2=(n+1)a(n+1)

∴S偶—S奇=-a（n+1）；S偶/S奇=n/（n+1）

當n為偶數為，s偶－s奇＝二分之一nd；當n為奇數為，s奇－s偶＝Sn除以n（即這個數列的中間項的值）。

例如設原數列首項為a，公差為d。

原數列依次為a，a+d，a+2d，a+3d，a+2nd。

奇數項為：a，a+2d，a+4d，a+2nd。

奇數項和：S奇=【a+（a+2nd）】（n+1）/2=（a+nd）（n+1）

偶數項為：a+d，a+3d，a+5d，a+（2n-1）d。

偶數項和：S偶=【（a+d）+（a+2nd-d）】n/2=（a+nd）n。

S奇/S偶=（n+1）/n。

例題:

等差數列的項數為偶數,它的奇數項,偶數項之和分別是24,30.若最後1項比第1項大21/2,求這個數列的項數.

解答:

設an=a1+(n-1)d設1≤k≤n/2,k為自然數,奇數項為a(2k-1)=a1+(2k-2)d=a1+2(k-1)d,其與S偶=ka1+k(k-1)d因此(n/2)a1+(n/2)(n/2-1)d=24偶數項為a(2k)=a1+(2k-1)d,其與S偶=ka1+k^2*d(n/2)a1+(n/2)^2*d=30因此(n/2)a1+(n/2)...

因為是偶數項，那麼偶數項之和減奇數項之和便是nd/2，n便是數列項數，d是差值。因此nd=2*（30-24）=12。an=a1+(n-1)*d,因此(n-1)*d=21/2，因此d==3/2，n=8。

解：設等差數列{an}的公差為d，所以等差數列{an}的奇數項構成一個以a1為首項，2d為公比的等差數列{a2n-1}，所以等差數列奇數項求和公式為tn = na1 + n(n – 1)*(2d)/2 = dn2 + (a1– d)n，即tn = dn2 + (a1– d)n，n∈n* 。