1、性質不同

上界（upper bound）是一個與偏序集有關的特殊元素，指的是偏序集中大於或等於它的子集中一切元素的元素。上確界性質是一個序性質。首先，只有在集合上建立了某種序關系才能繼續討論諸如上界之類的概念；其次，實數集具有上確界性質。

2、含義不同：

“上確界”的概念是數學分析中最基本的概念。 考慮一個實數集合M. 如果有一個實數S，使得M中任何數都不超過S,那麼就稱S是M的一個上界。在所有那些上界中如果有一個最小的上界，就稱為M的上確界。

3、個數不同：

一個有界數集有無數個上界和下界，但是上確界卻只有一個。上確界，也是上界，且是最小的上界。上界和上確界都不一定存在，如果都存在，上界不一定唯一，但上確界一定唯一。



確界定理

在一般的數學分析學教材中，實數理論一章，為了說明實數的緊性，有一系列的定理，理論比較嚴密的前蘇聯教材一般是以戴德金分割定理為出發點證明其它的等價定理。而中國教材為了簡化，很多都是從確界定理為出發點進行的證明，其他說明實數的連續性的定理還有區間套定理，有限覆蓋定理等等。

確界定理是實數理論中最基本的結論之一，是實數集緊性的體現。

定理：任何有上界(下界）的非空實數集必存在上確界（下確界）。

實數系的基本定理也稱實數系的完備性定理、實數系的連續性定理，這些定理分別是確界存在定理、單調有界定理、有限覆蓋定理、聚點定理、致密性定理、閉區間套定理和柯西收斂準則，共7個定理，。

一、上（下）確界原理

非空有上（下）界數集必有上（下）確界。

二、單調有界定理

單調有界數列必有極限。具體來說：

單調增（減）有上（下）界數列必收斂。

三、閉區間套定理（柯西-康托爾定理）

對於任何閉區間套，必存在屬於所有閉區間的公共點。若區間長度趨於零，則該點是唯一公共點。

四、有限覆蓋定理（博雷爾-勒貝格定理，海涅-波雷爾定理）

閉區間上的任意開覆蓋，必有有限子覆蓋。或者說：閉區間上的任意一個開覆蓋，必可從中取出有限個開區間來覆蓋這個閉區間。

五、極限點定理（波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理、聚點定理）

有界無限點集必有聚點。或者說：每個無窮有界集至少有一個極限點。

六、有界閉區間的序列緊性（致密性定理）

有界數列必有收斂子列。

七、完備性（柯西收斂準則）

數列收斂的充要條件是其為柯西列。或者說：柯西列必收斂，收斂數列必為柯西列。