首先，極限的概念有兩種形式，一種就是直觀的形式，一種就是嚴格的邏輯定義，在微積分發明的前100多年，大家一直用的是極限的直觀形式，到100多年以後才由數學家建立了嚴格的邏輯語言，如果你想學嚴格的邏輯語言，我有一個鏈接，你可以去仔細的看：
介紹用嚴格語言證明極限時常用的兩個方法：適當放大(或縮小)法和提前約束法
下面只講一下直觀的極限定義和直觀的極限證明：
先講一下x趨近於無窮大時f(x)的極限為A的的直觀的定義：如x的絕對值無限變大的時候，f(x)與A的距離可以任意的小，那我們說當x趨近無窮大時，f(x)的極限為A。
下面我們敘述一下極限的保號性，並用上述直觀定義證明這個極限的保號性。
極限的保號性是指：如果x趨近於無窮大時f(x)的極限大於零，則當x趨近於無窮大的時候（也就是x的絕對值，足夠大的時候），f(x)也大於零。
由於極限是一個數，他又比零大，那麼極限到零的距離的一半也是一個正數d，因為根據極限的直觀定義，只要x的絕對值足夠的大就可以讓f(x)與極限的距離小於d（因為他可以任意的小），由於極限是大於零的，而且極限與零的距離是2d，因此，只要函數與極限的距離小於d，那麼函數f(x)就大於零。也就是說，當x絕對值足夠大時f(x)就大於零。這樣我們就證明完了極限的保號性。
首先，極限的概念有兩種形式，一種就是直觀的形式，一種就是嚴格的邏輯定義，在微積分發明的前100多年，大家一直用的是極限的直觀形式，到100多年以後才由數學家建立了嚴格的邏輯語言，如果你想學嚴格的邏輯語言，我有一個鏈接，你可以去仔細的看：
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下面只講一下直觀的極限定義和直觀的極限證明：
先講一下x趨近於無窮大時f(x)的極限為A的的直觀的定義：如x的絕對值無限變大的時候，f(x)與A的距離可以任意的小，那我們說當x趨近無窮大時，f(x)的極限為A。
下面我們敘述一下極限的保號性，並用上述直觀定義證明這個極限的保號性。
極限的保號性是指：如果x趨近於無窮大時f(x)的極限大於零，則當x趨近於無窮大的時候（也就是x的絕對值，足夠大的時候），f(x)也大於零。
由於極限是一個數，他又比零大，那麼極限到零的距離的一半也是一個正數d，因為根據極限的直觀定義，只要x的絕對值足夠的大就可以讓f(x)與極限的距離小於d（因為他可以任意的小），由於極限是大於零的，而且極限與零的距離是2d，因此，只要函數與極限的距離小於d，那麼函數f(x)就大於零。也就是說，當x絕對值足夠大時f(x)就大於零。這樣我們就證明完了極限的保號性。