∫(1+sinx)dx

=∫dx+∫sinxdx

=x-cosx+C

在微積分中，一個函數f 的不定積分，或原函數，或反導數，是一個導數等於f 的函數 F ，即F ′ = f。

不定積分和定積分間的關系由微積分基本定理確定。其中F是f的不定積分

求不定積分是高等數學一個重要的知識，必須建立在一起不定積分的基本公式的基礎上，再利用加差的不定積分公式、分部積分公式以及換元法等，將基本積分公式運用其中，從而實現求不定積分的計算。

求不定積分的基本公式可以分成幾個類型，包括冪函數類型、含有一次二項式類型、含有二次二項式的平方和差類型和三角函數以及反三角函數類型等。

1+sinx的不定積分為ln|tanx/2|+C。

微積分中，一個函數f的不定積分，或原函數，或反導數，是一個導數等於f的函數F，即F′=f。不定積分和定積分間的關系由微積分基本定理確定。其中F是f的不定積分。

1/sinxdx

=1/(2sinx/2cosx/2)dx

=1/2(sinx/2^2+cosx/2^2)/(sinx/2cosx/2)dx

=1/2(tanx/2+cotx/2)dx

=1/2*[(-2)ln|cosx/2|+2ln|sinx/2|)+C

=ln|sinx/2|-ln|cosx/2|+C

=ln|tanx/2|+C。

解題過程如下：

∫[1/(1+sin²x)]dx=∫[1/(sin²x+cos²x+sin²x)]dx

=∫[1/(cos²x+2sin²x)]dx

=∫[1/(1+2tan²x)]*(1/cos²x)dx

=∫[1/(1+2tan²x)]dtanx

=(1/根號2)∫[1/(1+2tan²x)]d((根號2)*tanx)

=(1/根號2)arctan((根號2)tanx)+C（C為任意常數）

用到結論：

常用的不定積分：

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2)

dx=arcsinx+c

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c

13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c

14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c

15）∫1/√(a^2-x^2)

dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c

16)

∫sec^2

x

dx=tanx+c;

17)

∫shx

dx=chx+c;

18)

∫chx

dx=shx+c;

19)

∫thx

dx=ln(chx)+c

擴展資料：

①cos²x+sin²x=1

②tanx=sinx/cosx

③換元法：

換元法是指引入一個或幾個新的變量代替原來的某些變量(或代數式)，對新的變量求出結果之後，返回去求原變量的結果.換元法通過引入新的元素將分散的條件聯繫起來，或者把隱含的條件顯示出來，或者把條件與結論聯繫起來，或者變為熟悉的問題.其理論根據是等量代換。