首先必須說明的是 n個未知數必須需要最少n個線性無關的方程組才能解算出來

而當齊次線性方程組係數矩陣的秩等於未知量個數時

方程組的係數矩陣總是能化簡成



這樣的對角陣形式,由於係數矩陣的秩等於未知量個數 所以a1到an都不等於0,那方程組只有零解了.

當係數矩陣的秩小於未知量個數時,a1到an中總會有等於0的係數出現,此時,等於0的係數對應的那個變量就變成了自由變量,就是可以取任何值.為了保證解之間的線性無關性,自由變量一般分別取0,1 這樣就出現了非零解.

齊次線性方程組秩等於方程的個數時稱方程組“恰定”，那麼此時滿足方程組的解只有唯一的零解。這是書上的原話。

至於為什麼會這樣，你可以不從代數角度入手，而從幾何角度著手。每一個未知數都對應一個列向量，方程的個數就是向量的維數，未知數的個數就是向量的個數，對吧？好，那麼假設該方程組對應的向量組是N個N維向量組成的，那麼，所謂齊次線性方程組恰定，就是向量組線性獨立。線性獨立就是指這些N維向量在N維空間上可以彼此垂直而不能分解。此時若欲得到零向量，那麼只能另所有N個向量都是零向量……因為這N個向量之間不存在簡單的線性關系，不能互相線性表示，只能都是零向量，等價為方程語言，就是未知數必須全都是零，亦即只有零解。

一個n(級)階矩陣A的行(或列)向量組線性無關,則A的秩為?

A的秩：r(A) = n

一個n階矩陣A的行(或列)向量組線性無關，

則有A的行列式|A| ≠ 0，A為滿秩矩陣，A的秩為n。

線性無關和秩的關系是：如果一個矩陣行向量線性無關，那麼這個矩陣就是滿秩的，也就是秩等於行數或者列數，對於一個向量組來說，向量組線性無關的充分必要條件是這個向量組的秩等於向量個數。

如果齊次線性方程組Ax=0有k個線性無關的解，那麼基礎解系所含向量的個數n-r(A)>=k，即有 r(A)。

擴展資料：

計算矩陣的秩的一個有用應用是計算線性方程組解的數目。如果係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩，則方程組有解。在這種情況下，如果它的秩等於未知數的數目，則方程有唯一解。如果秩小於未知數個數，則有無窮多個解。

m×n矩陣的秩最大為m和n中的較小者。有盡可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩，類似的，否則矩陣是秩不足的。在線性代數中，一個矩陣A的列秩是A的線性無關的縱列的極大數目。

小學初中學數學的時候我們都聽過老師說過這樣的話：求解n個未知數，需要n個方程。現在我們知道，這句話其實是有很大毛病的，因為，只是數量上有n個方程是不夠的，這n個方程還需要“有效”，而這所謂的“有效方程”的個數，就是我們現在要討論的矩陣的秩。

線性相關和線性無關

若有m+1個n維的不全為0的向量







將其中第m+1個向量寫成下面的形式：

若這裡的  不全為零，則稱這 m+1個向量間存在線性關系，也就是說這 m+1個向量線性相關。

當然，也可以用另一種等價的說法，即若m+1個向量是線性相關的，那一定存在不全為零的使得

顯然，剛剛強調了那麼多次“不全為零”，那麼，當且僅有 的時候  上面的式子才成立，則稱這m+1個向量是線性無關，也就是線性獨立的啦~

如果一個矩陣行向量線性無關，那麼這個矩陣就是滿秩的，秩就等於行數或者列數。