存在極限一定有界，而有界不一定是極限。有界時函數值可以取到邊界，也可以取不到邊界，但總在邊界一側，極限就是取不到邊界，無限接近邊界的情況。

函數的局部有界性是指函數在極限點的鄰域內有界,而在整個定義域上並不一定有界. 數列其實可以看作是一個離散的函數.但數列求極限是總是令N趨向於無窮大.而函數求極限則不然,因此數列的有界性是對於整個數列而言的.更直白的說,數列如果存在極限,那麼它前面的有限項必然都是有限的數,所以肯定有界,而後面的無限多項由於極限的存在性所以也一定有界的.但是函數不具有這樣的特性.

一、性質不同 1、極限：設{xn}為一個無窮實數數列的集合。如果存在實數a，對於任意正數ε （不論其多麼小），都∃N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恆成立，那麼就稱常數a是數列{xn} 的極限，或稱數列{xn} 收斂於a。 2、有界：若存在兩個常數m和M，使函數y=f(x),x∈D 滿足m≤f(x)≤M,x∈D 。 則稱函數y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。 二、特點不同 1、極限：如果一個數列’收斂‘（有極限），那麼這個數列一定有界。 2、有界：如果一個數列有界，這個數列未必收斂。例如數列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”。

函數極限是高等數學最基本的概念之一，導數等概念都是在函數極限的定義上完成的。函數極限性質的合理運用。常用的函數極限的性質有函數極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函數極限的運算法則和複合函數的極限等

定義

設函數在點的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數A，對於任意給定的正數（無論它多麼小），總存在正數，使得當x滿足不等式時，對應的函數值都滿足不等式：



那麼常數A就叫做函數當時的極限，記作





概念

函數極限可以分成 ，而運用ε-δ定義更多的見諸已知極限值的證明題中。掌握這類證明對初學者深刻理解運用極限定義大有裨益。

以 的極限為例，f(x) 在點 以A為極限的定義是： 對於任意給定的正數ε（無論它多麼小），總存在正數 ，使得當x滿足不等式 時，對應的函數值f(x)都滿足不等式： ，那麼常數A就叫做函數f(x)當 x→x。時的極限。

問題的關鍵在於找到符合定義要求的 ，在這一過程中會用到一些不等式技巧，例如放縮法等。1999年的研究生考試試題中，更是直接考察了考生對定義的掌握情況。

如函數極限的唯一性（若極限存在，則在該點的極限是唯一的）

存在準則

有些函數的極限很難或難以直接運用極限運算法則求得，需要先判定。下面介紹幾個常用的判定數列極限的定理。

1.夾逼定理：（1）當(這是的去心鄰域，有個符號打不出）時，有成立

（2）,那麼，f(x)極限存在，且等於A

不但能證明極限存在，還可以求極限，主要用放縮法。

2.單調有界準則：單調增加（減少）有上（下）界的數列必定收斂。

在運用以上兩條去求函數的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂，然後再求極限值。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函數 ，並且要滿足極限是趨於同一方向 ，從而證明或求得函數 的極限值。

3.柯西收斂準則

數列{Xn}收斂的充分必要條件是：對於任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得當m>N，n > N時，且m≠n，有。我們把滿足該條件的{Xn}稱為柯西序列，那麼上述定理可表述成：數列{Xn}收斂，當且僅當它是一個柯西序列。

方法

①利用函數連續性：

（就是直接將趨向值帶入函數自變量中，此時要要求分母不能為0）

②恆等變形

當分母等於零時，就不能將趨向值直接代入分母，可以通過下面幾個小方法解決：

第一：因式分解，通過約分使分母不會為零。

第二：若分母出現根號，可以配一個因子使根號去除。

第三：以上我所說的解法都是在趨向值是一個固定值的時候進行的，如果趨向於無窮，分子分母可以同時除以自變量的最高次方。（通常會用到這個定理：無窮大的倒數為無窮小）

當然還會有其他的變形方式，需要通過練習來熟練。

③通過已知極限

特別是兩個重要極限需要牢記。

④採用洛必達法則求極限

洛必達法則是分式求極限的一種很好的方法，當遇到分式0/0或者∞/∞時可以採用洛必達，其他形式也可以通過變換成此形式。

洛必達法則：符合形式的分式的極限等於分式的分子分母同時求導。