雙曲線是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。雙曲線的幾何性質分為兩大類。位置關系：中心是兩焦點，兩頂點的中點：焦點在實軸上；實軸與虛軸垂直；雙曲線有兩條過中心的漸近線；準線與實軸垂直等等。



雙曲線是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。在數學中，雙曲線（多重雙曲線或雙曲線）是位於平面中的一種平滑曲線，由其幾何特性或其解決方案組合的方程定義。雙曲線有兩片，稱為連接的組件或分支，它們是彼此的鏡像，類似於兩個無限弓。雙曲線是由平面和雙錐相交形成的三種圓錐截面之一。（其他圓錐部分是拋物線和橢圓，圓是橢圓的特殊情況）如果平面與雙錐的兩半相交，但不通過錐體的頂點，則圓錐曲線是雙曲線。

雙曲線的基本知識點為平面內與兩個定點F，F的距離的差的絕對值是常數(小於|5|)的點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點叫做雙線的焦點，兩焦點的距離叫焦距。定點F叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常數e(e>1)叫做雙曲線的離心率。

雙曲線是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。它還可以定義為與兩個固定的點(叫做焦點)的距離差是常數的點的軌跡。這個固定的距離差是a的兩倍，這裡的a是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點的距離。a還叫做雙曲線的實半軸。焦點位於貫穿軸上，它們的中間點叫做中心，中心一般位於原點處。

1、取值區域：

x≥a,x≤-a或者y≥a,y≤-a

2、對稱性：

關於坐標軸和原點對稱。

3、頂點：

A(-a,0) A’(a,0) AA’叫做雙曲線的實軸，長2a；B(0,-b) B’(0,b) BB’叫做雙曲線的虛軸，長2b。

4、漸近線：

橫軸：y=±(b/a)x 豎軸：y=±(a/b)x

5、離心率：

e=c/a 取值範圍：（1，+∞）

6、雙曲線上的一點到定點的距離和到定直線(相應準線)的距離的比等於雙曲線的離心率。

7、雙曲線焦半徑公式：

圓錐曲線上任意一點到焦點距離。過右焦點的半徑r=|ex-a|；過左焦點的半徑r=|ex+a|

8、等軸雙曲線

雙曲線的實軸與虛軸長相等，2a=2b e=√2

9、共軛雙曲線

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 與 (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 叫共軛雙曲線

（1）共漸近線

（2）e1+e2>=2√2

10、準線：

x=±a^2/c,或者y=±a^2/c

11、通徑（定義：圓錐曲線（除圓外）中，過焦點並垂直於軸的弦）：

2b^2/a

12、焦點弦長公式：

2pe/(1-e^2cos^2θ) [p為焦點到準線距離，θ為弦與X軸夾角] 或2p/sin^2θ

13、d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推導如下：

由直線的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k

分別代入兩點間的距離公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ]

稍加整理即得： |AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²)

擴展資料：

一、光學性質：

從雙曲線一個焦點發出的光，經過雙曲線反射後，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上。雙曲線這種反向虛聚焦性質，在天文望遠鏡的設計等方面，也能找到實際應用。

二、相關定義：

定義1：

平面內，到兩個定點的距離之差的絕對值為常數（小於這兩個定點間的距離）的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點。

定義2：

平面內，到給定一點及一直線的距離之比為常數e（（e>1），即為雙曲線的離心率）的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點，定直線叫雙曲線的準線。雙曲線準線的方程為（焦點在x軸上）或（焦點在y軸上）。

定義3：

一平面截一圓錐面，當截面與圓錐面的母線不平行也不通過圓錐面頂點，且與圓錐面的兩個圓錐都相交時，交線稱為雙曲線。

定義4：

在平面直角坐標系中，二元二次方程F（x，y）=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0滿足以下條件時，其圖像為雙曲線。