f(x)=x³+y³-3xy

f'x=3x²-3y=0, 得y=x²

f'y=3y²-3x=0，代入y得：x^4-x=0, 得x=0, 1

得駐點(0, 0) (1, 1)

A=f"xx=6x

B=f"xy=-3

C=f"yy=6y

在(0, 0), A=C=0, B²-AC=9>0, 所以這不是極值點；

在(1, 1), A=C=6>0, B²-AC=9-36=-27<0, 所以這是極小值點，極小值為f(1, 1)=1+1-3=-1.

擴展資料

設平面點集D包含於R2,若按照某對應法則f,D中每一點P(x,y)都有唯一的實數z與之對應,則稱f為在D上的二元函數.

且稱D為f的定義域,P對應的z為f在點P的函數值,記作z=f(x,y);全體函數值的集合稱為f的值域.

一般來說,二元函數是空間的曲面,如雙曲拋物面(馬鞍形)z=xy.

二元函數可以認為是有兩個自變量一個因變量，可以認為是三維的函數，空間函數。

f為定義在點集D上的二元函數.P0為D中的一點.對於任意給定的正數ε,總存在相應的正數δ,只要P在P0的δ臨域和D的交集內,就有|f(P0)-f(P)|<ε,則稱f關於集合D在點P0處連續.

判斷二元函數極值方法如下：

設：二元函數 f(x,y)的穩定點為：(x0,y0),

即：∂f(x0,y0)/∂x = ∂f(x0,y0)/∂y = 0；

記：：A=∂²f(x0,y0)/∂x²

B=∂²f(x0,y0)/∂x∂y

C=∂²f(x0,y0)/∂y²

∆=AC-B²

如果：∆>0

A0,f(x0,y0) 為極小值；

如果：∆0

f(0,0)=0 為最小值。

求解函數極值方法：尋求函數整個定義域上的最大值和最小值是數學優化的目標。如果函數在閉合區間上是連續的，則通過極值定理存在整個定義域上的最大值和最小值。此外，整個定義域上最大值（或最小值）必須是域內部的局部最大值（或最小值），或必須位於域的邊界上。

擴展資料

判斷函數極值定義：

若函數f(x)在x₀的一個鄰域D有定義，且對D中除x₀的所有點，都有f(x)<f(x₀)，則稱f(x₀)是函數f(x)的一個極大值。同理，若對D的所有點，都有f(x)>f(x₀)，則稱f(x₀)是函數f(x)的一個極小值。極值的概念來自數學應用中的最大最小值問題。

根據極值定律，定義在一個有界閉區域上的每一個連續函數都必定達到它的最大值和最小值，問題在於要確定它在哪些點處達到最大值或最小值。如果極值點不是邊界點，就一定是內點。因此，這裡的首要任務是求得一個內點成為一個極值點的必要條件。