以下是使用參數解決一元三次方程的例子：

設一元三次方程為：

$$x^3 + ax^2 + bx + cx + d = 0$$

其中a,b,c,d為參數。

則有：

$$x = -\frac{b}{3a} - \frac{c}{3a}$$

代入原方程：

$$-\frac{b}{3a} - \frac{c}{3a} + \left(-\frac{b}{3a}\right)^2 - \frac{b}{3a}\left(-\frac{b}{3a}\right) - \frac{c}{3a}\left(-\frac{b}{3a}\right) - \frac{c}{3a}\left(-\frac{b}{3a}\right) = -a$$

化簡後得：

$$a = -\frac{b^2}{9a} - \frac{c^2}{9a}$$

$$b = -\frac{3ac}{9a}$$

$$c = -\frac{3ad}{9a}$$

$$d = -\frac{3bc}{9a}$$

由此可知，參數a,b,c,d只與方程的根有關，因此我們可以通過求根法求解一元三次方程。

一元三次方程的求根公式稱為“卡爾丹諾公式”。 一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 。

如作一個橫坐標平移y=x+s/3，那麼就可以把方程的二次項消去。所以只要考慮形如 x3=px+q

的三次方程。

例子：

假設方程的解x可以寫成x=a-b的形式，這裡a和b是待定的參數。

代入方程

a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q

整理得到

a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q

由二次方程理論可知，一定可以適當選取a和b，使得在x=a-b的同時， 3ab+p=0。這樣上式就成為 a3-b3=q 兩邊各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3 。

由p=-3ab可知 ，27a6 + p = 27qa3 這是一個關於a3的二次方程，所以可以解得a。

擴展資料

含有二次項但不含有一次項的一元三次方程，經過代換後可以消掉二次項，但是卻會冒出一次項出來。

對於三次多項式，配立方，其結果除了完全立方項，後面既可以有常數項，也可以有一次項。一個自然的想法就是如何將一般的三次方程化為不帶二次項的三次方程