1 是指，若在平面直角坐標系中，向量OA和向量OB的模長相等，則點A和點B在以O為圓心的圓上。
2 這個定理的原因在於，向量的模長就是從起點到終點的距離，因此如果兩個向量的模長相等，那麼它們的終點到起點的距離也相等。
又因為點A和點B的距離都等於向量的模長，所以它們一定在同一個圓上。
3 這個定理在向量的幾何應用中非常常見，比如可以用於證明三角形中垂線的交點在一個圓上，或者證明平行四邊形的對角線相交於圓心等。

向量等和線定理是相等的向量一定平行，但是平行的向量並不一定相等。兩個向量相等並不一定這兩個向量一定要重合，只用這兩個向量長度相等且方向相同即可。

由於任何一組平行向量都可移到同一直線上，故平行向量也叫做共線向量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。與向量對應的量叫做數量（物理學中稱標量），數量（或標量）只有大小，沒有方向。

1．平面向量：是在二維平面內既有方向又有大小的量，物理學中也稱作矢量，與之相對的是只有大小、沒有方向的數量（標量）。

2．向量的模：有向線段（AB） 的長度叫做向量的模，記作|（AB） | 。

3．零向量：長度等於0的向量叫做零向量，記作0。平行於任何向量。

4．相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

如果兩個向量a、b不共線，那麼向量p與向量a、b共面的充要條件是：存在唯一實數對x、y，使p=xa+yb。

實質作用

這項定理其實說明了平面向量可以沿任意指定的兩方向分解，同時也說明了由任意兩向量可以合成指定向量，即向量的合成與分解。當兩個方向相互垂直時，其實就是把他們在直角坐標系中分解，此時（x,y）就稱為此向量的坐標。（此向量的起點為原點）所以此定理為向量的坐標表示提供了理論依據。

坐標表示

在平面直角坐標系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，a為坐標平面內的任意向量，以坐標原點O為起點作向量OP=a。有平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x、y，使得

向量OP=xi+yj。

因此向量，a=xi+yj。

我們把實數（x，y）對叫做向量的坐標，記作：a=（x，y）。

顯然，其中（x，y）就是點P的坐標。

向量OP稱為點P的位置向量。

共面向量

共面向量基本定理：如果兩個向量a、b不共線，那麼向量p與向量a、b共面的充要條件是：存在唯一實數對x、y，使p=xa+yb。

正誤判斷

1．若a=0，則對任a·b≠0． 錯（當a⊥b時，a · b=0）

2．若a≠0，a · b=0，則b=0錯（當a和b都不為零，且a⊥b時，a · b=0）

3．若a · b=0，則a · b中至少有一個為0. 錯（可以都不為0，當a⊥b時，a · b=0成立）

4．若a≠0，a · b=b · c，則a=c錯（當b=0時）

5．若a · b=a · c,則b≠c,當且僅當a=0時成立． 錯（a≠0且同時垂直於b，c時也成立）

6．對任意向量a有a·a=∣a∣* ∣a∣

平面向量的線性運算：加法為三角形法則'平行四邊形法則'。定理：向量a與b共線，a不等於零，有且只有唯一一個實數c，使b=ca。

平面向量基本定理