二元函數f(x,y)在某點(x0, y0)可微的充分必要條件是：函數f(x,y)在點(x0, y0)處的偏導數連續且偏導數f'x(x0, y0)、f'y(x0, y0)都存在。可微的定義如下：設函數y= f(x)，若自變量在點x的改變量Δx與函數相應的改變量Δy有關系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A與Δx無關，則稱函數f(x)在點x可微，並稱AΔx為函數f(x)在點x的微分，記作dy，即dy=A×Δx，當x= x0時，則記作dy∣x=x0。

判定二元函數的可微性,關鍵要理解二元函數連續、偏導數存在、方向導數存在、偏導數存在且連續這四個概念與可微之間的關系。本文著重分析這四種關系,給出判定二元函數在某點可微的方法。關鍵詞: 二元函數 連續 偏導數 可微 方向導數對於一元函數,可微性比較容易判定。因為一元函數在某個點連續、可導、可微這三個概念的關系是很清楚的,可簡單地表示為:可微?圳可導?圯連續。

首先,對於以一元函數,比較簡單,可微一定可導,可導一定可微。對於多元函數：偏導數存在不一定可微,可微一定存在偏導.（還有,偏導數存在時函數不一定連續）二元函數,可微的充要條件是：

z=f(x,y)在（Xo,Yo)處的偏導數f`x(Xo,Yo),f`y(Xo,Yo)存在 且

{Δz-[f`x(x0,y0)h+f`y (x0,y0)k]}/ ρ=0 ( ρ→0)

其中 k=Δx h=Δy ρ=就是動點和定點的距離,那個式子 根下(x-xo)2+(y-yo)2。

證明方法：1、用定義去驗證。

2、利用充分條件 驗證偏導函數連續。

二元可微的條件：

必要條件：若函數在某點可微，則該函數在該點對x和y的偏導數必存在。

充分條件：若函數對x和y的偏導數在這點的某一鄰域內都存在，且均在這點連續，則該函數在這點可微。