是通過對三角函數的定義和性質進行分析和推導得出的。具體步驟如下

1. 首先，我們需要了解三角函數的定義。正弦函數sin(x)定義為對於任意實數x，sin(x)等於以x為自變量的單位圓上的點的縱坐標值。餘弦函數cos(x)定義為對於任意實數x，cos(x)等於以x為自變量的單位圓上的點的橫坐標值。

2. 接下來，我們可以通過觀察單位圓上的點的位置和性質來推導三角函數的圖像。例如，我們可以發現正弦函數的圖像是一個週期為2π的波形，且在x=0x=π/2x=π等點上取得極值。

3. 同樣地，我們可以觀察餘弦函數的圖像，發現它也是一個週期為2π的波形，但在x=0x=π/2x=π等點上取得極值的位置與正弦函數相反。

4. 對於其他三角函數如正切函數tan(x)餘切函數cot(x)正割函數sec(x)和餘割函數csc(x)，我們可以通過它們與正弦函數和餘弦函數的關系來推導它們的圖像。

總之，通過對三角函數的定義和性質進行觀察和分

正切

設三角形ABC中，∠ABC為一個銳角。以點A為起點，從線段AB向BC引一條垂線AD，則可構成一個直角三角形ABD和一個銳角三角形ACD。因此：

tan ∠ABC = tan ACD = CD/AD。

由於AD在直角三角形ABD中，故AD = BD cos ∠ABC，由此可以得到：

tan ∠ABC = CD/BD cos ∠ABC。

對於任意的三角函數和三角恆等式，可以用代數運算和三角形相似的方法推導出來。

角公式

sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B。

這個式子可以用正弦的定義進行推導。設在單位圓上有一點P(x, y)，則可以得到sin A = y，cos A = x，sin B = y'，cos B = x'。在圓上，點P與點P'的連線與x軸的夾角為A + B或A - B，則可以得到：

sin(A + B) = y''，其中y''為點P''的縱坐標。

因為長方形OQPQ'是正方形，所以OQ = PQ = 1。因此，由勾股定理可以計算出點P''的坐標：

x'' = x' cos A - y' sin A，y'' = y' cos A + x' sin A。

將x'和y'用sin B和cos B代入該式，就可以得到角公式。同理可以推出餘弦和正切的角公式。