因為函數有界

，所以函數的值域

有界，所以函數值域必定有“最小上界” (supreme), S因為是單調函數,所以對應任意小的e>0, 必定存在N>0使得對於任意x>N, 都有 | f(x) - S |< e滿足極限的定義。

設{x[n]}單調有界（不妨設單增）,那麼存在M>=x[n]（任意n）。

所以{x[n]}有上確界

,記作l。

對任意正數a,存在自然數

N,使得x[N]>l-a。

因為x[n]單增,所以當n>=N時,l-a所以|x[n]-l|所以{x[n]}極限存在,為l。

證明

設數列{xn}單調遞增且有上界，接下來用戴德金定理證明{xn}必有極限。

分類討論，如果{xn}從第N項開始所有的項都相等（即數列有無窮多個相等的項），那麼由於數列是單調遞增的，當n>N時，有xn=xN，因此對即{xn}收斂到xN。

如果{xn}中只有有限項相等，即數列從某項開始嚴格單調遞增，那麼因為{xn}有上界，可取所有{xn}的上界組成一個數集

B，並取A=R/B。

單調有界準則：若數列{an}遞增有上界（遞減有下界），則數列{an}收斂，即單調有界數列必有極限。具體來說，如果一個數列單調遞增且有上界，或單調遞減且有下界，則該數列收斂。

單調有界數列必有極限。

這個性質是實數連續性的一個體現，可以用實數連續性公理對其進行證明。