設A，B和C是任意同階方陣，則有：

（1）0反身性：A~ A

（2）對稱性：若A~ B，則 B~ A

（3）傳遞性：若A~ B，B~ C，則A~ C

（4）若A~ B，則r(A)=r(B)，|A|=|B|，tr（A）=tr（B）。

（5）若A~ B，且A可逆，則B也可逆，且B~ A。

（6）若A~ B，則A與B：兩者的秩相等；兩者的行列式值相等；兩者的跡數相等；兩者擁有同樣的特徵值，儘管相應的特徵向量一般不同；兩者擁有同樣的特徵多項式；兩者擁有同樣的初等因子。

（7）若A與對角矩陣相似，則稱A為可對角化矩陣，若n階方陣A有n個線性無關的特徵向量，則稱A為單純矩陣。

（8）相似矩陣具有相同的可逆性，當它們可逆時，則它們的逆矩陣也相似

看與一個矩陣相似的對角矩陣有幾個：

算出一個對角陣，然後看一下對角元有多少種排序方式就可以知道與一個矩陣相似的對角矩陣有幾個。

n階矩陣A與對角陣相似的充分必要條件是A有n個線性無關的特徵向量。因為不同特徵值對應的特徵向量一定是線性無關的，所以只需要看A每個的k重特徵值是否都對應k個線性無關的特徵向量。

若n階矩陣A有n個相異的特徵值，則A與對角矩陣相似。對於n階方陣A，若存在可逆矩陣P，使為對角陣，則稱方陣A可對角化。

矩陣是一個按照長方陣列排列的複數或實數集合，最早來自於方程組的係數及常數所構成的方陣，是高等代數學中的常見工具，也常見於統計分析等應用數學學科中。矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣有特定的快速運算算法。