反比例函數y=k/x的單調性是由反比例函數中的比例係數K的符號決定的。一般有兩種情況：當k>O時反比例函數的圖象分布在笫一，笫三象限(實際上它是雙曲線)，函數在(-∞，0)上和在(0，十∞)上是單調減函數，當k<0時函數的圖象在笫二笫四象限，函數在(一∞，。)和(0，十∞)上單調增。

因為反比例函數不是連續函數，所以在整個定義域內不具單調性。反比例函數在一個指定區間內具有單調性：當k>0時，圖像分別位於第一、三象限，每一個象限內，從左往右，y隨x的增大而減小；當k<0時，圖像分別位於第二、四象限，每一個象限內，從左往右，y隨x的增大而增大。k>0時，函數在x<0上同為減函數、在x>0上同為減函數；k<0時，函數在x<0上為增函數、在x>0上同為增函數。函數的單調性（monotonicity）也叫函數的增減性，可以定性描述在一個指定區間內，函數值變化與自變量變化的關系。

當函數f(x) 的自變量在其定義區間內增大（或減小）時，函數值也隨著增大（或減小），則稱該函數為在該區間上具有單調性（單調增加或單調減少）。

函數單調性的判斷方法有導數法、定義法、性質法和複合函數同增異減法。

1、導數法

首先對函數進行求導，令導函數等於零，得X值，判斷X與導函數的關系，當導函數大於零時是增函數，小於零是減函數。

2、定義法

設x1，x2是函數f(x)定義域上任意的兩個數，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，則此函數為增函數；反知，若f(x1)＞f(x2)，則此函數為減函數.

3、性質法

若函數f(x)、g(x)在區間B上具有單調性，則在區間B上有：

⑴ f(x)與f(x)＋C（C為常數）具有相同的單調性；

⑵ f(x)與c•f(x)當c＞0具有相同的單調性，當c＜0具有相反的單調性；

⑶當f(x)、g(x)都是增(減)函數，則f(x)＋g(x)都是增(減)函數；

⑷當f(x)、g(x)都是增(減)函數，則f(x)•g(x)當兩者都恒大於0時也是增(減)函數，當兩者都恆小於0時也是減(增)函數；

4、複合函數同增異減法

對於複合函數y＝f [g(x)]滿足“同增異減”法(應注意內層函數的值域)，可令 t＝g(x)，則三個函數 y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f [g(x)]中，若有兩個函數單調性相同，則第三個函數為增函數；若有兩個函數單調性相反，則第三個函數為減函數。

一、 函數單調性的定義：

一般的，設函數y=f(X)的定義域為A,I↔A，如對於區間內任意兩個值X1、X2，

1）、當X1<X2時，都有f(X1)<f(X2),那麼就說y=f(x)在區間I上是單調增函數，I稱為函數的單調增區間；

2）、當X1>X2時，都有f(X1)>f(X2),那麼就說y=f(x)在區間I上是單調減函數，I稱為函數的單調減區間。

二、 常見方法： Ⅰ、定義法：

定義域判斷函數單調性的步驟 ① 取值：

在函數定義域的某一子區間I內任取兩個不等變量X1、X2，可設X1<X2; ② 作差（或商）變形：

作差f(X1)-f(X2)，並通過因式分解、配方、有理化等方法向有利於判斷差的符號的方向變形； ③ 定號：

確定差f(X1)-f(X2)的符號； ④ 判斷：

根據定義得出結論。

例：已知函數f(x)=x3+x,判斷f(x)在(-∞，+∞)上的單調性並證明

解：任取x1、x2↔(-∞，+∞)，x1<x2,則

f﹙x1﹚-f﹙x2﹚=(x13+x1)- (x23+x2)=(x1-x2)+(x13-x23)

=(x1-x2)(x12+x22+x1x2+1)

=(x1-x2) [﹙x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22]

∵x1、x2↔(-∞，+∞)，x1<x2, ∴x1-x2<0,（x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22>0 故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2) ∴f(x)在(-∞，+∞)上單調遞增

Ⅱ、直接法（一次函數、二次函數、反比例函數的單調可直接說出）： ① 函數y=-f(x)的單調性相反

② 函數y=f(x)恆為正或恆為負時，函數y=f(x)的單調性相反 ③ 在公共區間內，增函數+增函數=增函數，減函數+減函數=減函數 例：判斷函數y=-x+1+1/x在（0，+∞）內的單調性 解：設y1=-x+1,y2=1/x,

∵y1在（0，+∞）上↓，y2在（0，+∞）上↓, ∴y=-x+1+1/x在（0，+∞）內↓

Ⅲ、圖像法：

說明：⑴單調區間是定義域的子集 ⑵定義x1、x2的任意性