方法一：反向構造求解
第一步：反向。找到題目中的反面情況。
第二步：加和。所有反面情況加和。
第三步：做差。總數減去所有反面情況加和。
方法二：正面求解
核心提示：至少的反面是至多，都……的反面是不都……
假設總數為M，其中第一個集合為A，第二個集合為B，第三個集合為C，第四個集合為D。則不滿足A,B,C,D集合分別為M-A，M-B，M-C，M-D。因此不滿足任何一個集合最多有M-(M-A)-(M-B)-(M-C)-(M-D)。整理得(A+B+C+D)-3M。
同理可得：若有三個集合則公式為：A+B+C -2M。
若有五個集合則公式為：A+B+C+D+E-4M。
提示：集合個數不一定都是四個或者三個，我們只需要將集合數值加和減去(集合個數-1)乘以總數即可。
【例1】閱覽室有100本雜志，小趙借閱過其中75本，小王借閱過70本，小劉借閱過60本，則三人共同借閱過的雜志最少有()本。
A.5 B.10
C.15 D.30
【答案】A
【解析】本題是標準的“多集合反向構造”問題，出現了“都……至少……”的題目特徵。
第一步：反向。找到題目中的反面情況。問的是“共同借閱過的雜志最少”，反面是“都沒有借閱過的雜志數最多”，分別求出沒有借閱的數量是25、30、40本。
第二步：加和。所有反面情況加和。三人都未借閱的雜志最多為25+30+40=95本。
第三步：做差。總數減去所有反面情況加和。三人共同借閱的雜志最少有100-95=5本。
本題一共有三個集合直接採用正面三個集合的公式：A+B+C -2M。即：75+70+60-2×100=5
【例2】有100名員工去年和今年均參加考核，考核結果分為優、良、中、差四個等次。今年考核結果為優的人數是去年的1.2倍。今年考核結果為良及以下的人員佔比比去年低15個百分點。問兩年考核結果均為優的人數至少為多少人?
A.55 B.65
C.75 D.85
【答案】B
【解析】首先判別題型，問題為“問兩年考核結果均為優的人數至少為多少人?”，出現了“都……至少……”的題目特徵。
第一步：反向。求出兩年考核結果不為優的人數。本題中未直接給出人數。根據題意“今年考核結果為優的人數是去年的1.2倍”，設去年考核為優有x人，今年為1.2x人。題中“今年為今年考核結果為良及以下的人員佔比比去年低15個百分點”，則今年考核結果為優的比去年高了15個百分點，兩年的總人數均為100，即今年考核結果為優的增加了100×15%=15(人)。即1.2x-x=15，解出x=75，則去年為優的有75人，今年為優的有90人。那麼，去年考核不為優的有25人，今年不為優的有10人。
第二步：加和。兩年考核結果不為優的人數最多為25+10=35人。
第三步，做差。兩年考核結果均為優的人數至少為100-35=65人。
本題中未直接給出人數。根據題意“今年考核結果為優的人數是去年的1.2倍”，設去年考核為優有x人，今年為1.2x人。題中“今年為今年考核結果為良及以下的人員佔比比去年低15個百分點”，則今年考核結果為優的比去年高了15個百分點，兩年的總人數均為100，即今年考核結果為優的增加了100×15%=15(人)。即1.2x-x=15，解出x=75，則去年為優的有75人，今年為優的有90人。
本題一共有兩個集合直接採用正面兩個集合的公式：A+B -M。即：75+90-100=65。
多集合反向構造類問題是數學運算中較為簡單的題目，大家只要清晰的辨認題型，了解解題思路及常用的做題方法，就可以達到快速準確解題的效果。
方法一：反向構造求解
第一步：反向。找到題目中的反面情況。
第二步：加和。所有反面情況加和。
第三步：做差。總數減去所有反面情況加和。
方法二：正面求解
核心提示：至少的反面是至多，都……的反面是不都……
假設總數為M，其中第一個集合為A，第二個集合為B，第三個集合為C，第四個集合為D。則不滿足A,B,C,D集合分別為M-A，M-B，M-C，M-D。因此不滿足任何一個集合最多有M-(M-A)-(M-B)-(M-C)-(M-D)。整理得(A+B+C+D)-3M。
同理可得：若有三個集合則公式為：A+B+C -2M。
若有五個集合則公式為：A+B+C+D+E-4M。
提示：集合個數不一定都是四個或者三個，我們只需要將集合數值加和減去(集合個數-1)乘以總數即可。
【例1】閱覽室有100本雜志，小趙借閱過其中75本，小王借閱過70本，小劉借閱過60本，則三人共同借閱過的雜志最少有()本。
A.5 B.10
C.15 D.30
【答案】A
【解析】本題是標準的“多集合反向構造”問題，出現了“都……至少……”的題目特徵。
方法一：反向構造求解
第一步：反向。找到題目中的反面情況。問的是“共同借閱過的雜志最少”，反面是“都沒有借閱過的雜志數最多”，分別求出沒有借閱的數量是25、30、40本。
第二步：加和。所有反面情況加和。三人都未借閱的雜志最多為25+30+40=95本。
第三步：做差。總數減去所有反面情況加和。三人共同借閱的雜志最少有100-95=5本。
方法二：正面求解
本題一共有三個集合直接採用正面三個集合的公式：A+B+C -2M。即：75+70+60-2×100=5
【例2】有100名員工去年和今年均參加考核，考核結果分為優、良、中、差四個等次。今年考核結果為優的人數是去年的1.2倍。今年考核結果為良及以下的人員佔比比去年低15個百分點。問兩年考核結果均為優的人數至少為多少人?
A.55 B.65
C.75 D.85
【答案】B
【解析】首先判別題型，問題為“問兩年考核結果均為優的人數至少為多少人?”，出現了“都……至少……”的題目特徵。
方法一：反向構造求解
第一步：反向。求出兩年考核結果不為優的人數。本題中未直接給出人數。根據題意“今年考核結果為優的人數是去年的1.2倍”，設去年考核為優有x人，今年為1.2x人。題中“今年為今年考核結果為良及以下的人員佔比比去年低15個百分點”，則今年考核結果為優的比去年高了15個百分點，兩年的總人數均為100，即今年考核結果為優的增加了100×15%=15(人)。即1.2x-x=15，解出x=75，則去年為優的有75人，今年為優的有90人。那麼，去年考核不為優的有25人，今年不為優的有10人。
第二步：加和。兩年考核結果不為優的人數最多為25+10=35人。
第三步，做差。兩年考核結果均為優的人數至少為100-35=65人。
方法二：正面求解
本題中未直接給出人數。根據題意“今年考核結果為優的人數是去年的1.2倍”，設去年考核為優有x人，今年為1.2x人。題中“今年為今年考核結果為良及以下的人員佔比比去年低15個百分點”，則今年考核結果為優的比去年高了15個百分點，兩年的總人數均為100，即今年考核結果為優的增加了100×15%=15(人)。即1.2x-x=15，解出x=75，則去年為優的有75人，今年為優的有90人。
本題一共有兩個集合直接採用正面兩個集合的公式：A+B -M。即：75+90-100=65。
多集合反向構造類問題是數學運算中較為簡單的題目，大家只要清晰的辨認題型，了解解題思路及常用的做題方法，就可以達到快速準確解題的效果。