cauchy-schwarz不等式：等號在且僅在ad－bc=0即ad=bc時成立。柯西施瓦茨不等式：ai、bi為任意實數（i=1,2...n)，則（a1^2+a2^2+.+an^2)(b1^2+b2^2+.+bn^2)>=(a1b1+a2b2+.+anbn)^2.可以構造二次函數，借助判別式來證明。柯西－施瓦茨不等式是一個在眾多背景下都有應用的不等式，例如線性代數，數學分析，概率論，向量代數以及其他許多領域。

cauchy-schwarz不等式用向量來證：m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)，mn=a1b1+a2b2+......+anbn(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX。因為cosX小於等於1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小於等於a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)。

柯西不等式，有兩元的，三元的，多元的。但是最實用的是兩元的。就是平方和乘以平方和大於等於對應相乘再相加的平方，有點像向量坐標運算。

三元柯西不等式公式是(a²+b²+c²)*(1+1+1)>=(a+b+c)²=1，柯西不等式是由大數學家柯西在研究數學分析中的“留數”問題時得到的。但從歷史的角度講，該不等式應當稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因為，正是後兩位數學家彼此獨立地在積分學中推而廣之，才將這一不等式應用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，靈活巧妙地應用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解。柯西不等式在證明不等式、解三角形、求函數最值、解方程等問題的方面得到應用。