∫ dx/[ (sinx)^4 + (cosx)^4 ] 分子分母同時除以 (cosx)^4 =∫ (secx)^4/[ 1+(tanx)^4 ] dx =∫ (secx)^2/[ 1+(tanx)^4 ] dtanx =∫ [ 1+ (tanx)^2] /[ 1+(tanx)^4 ] dtanx u=tanx =∫ ( 1+ u^2) /( 1+u^4 ) du 分子分母同時除以 u^2 =∫ ( 1+ 1/u^2) /(u^2+ 1/u^2 ) du =∫ ( 1+ 1/u^2) /[ (u -1/u)^2 +2 ] du d( u- 1/u) = ( 1+ 1/u^2) du =∫ d( u- 1/u) /[ (u -1/u)^2 +2 ] =(1/√2 )∫ d[( u- 1/u)/√2] /{ 1 + [(u -1/u)/√2]^2 } =(1/√2 )arctan[( u-1/u)/√2] + C =(1/√2 )arctan[( tanx -1/tanx)/√2] + C

答案是，最大值是5，週期為2π，具體分析運算如下，

解析，上面式子等於，y=3sinx+

4cosx,是三角函數疊加運算，具有週期規律，存在拐點，有極值，對本題式子對x求導數得到，y'=3cosx-4sinx,取y'=0得到，tanx=3/4=0.75,x=36.87度和36.87+180=216.87度，都有y'為零,原函數有極值存在。然後再對函數求二階導數得到y"=-3sinx-4cosx，當x=36.87時

y"=-3*0.6-4*0.8=-5，是小於零，y是最大值為5，當x=216.87時y"=3*0.6+4*0.8=5

大於零，y是最小值為-5。可看出週期為360度即2π。

最大值是5，可以通過三角函數公式對算式進行如下變換：y=3sinx+4cosx=5（3sinx/5+4cosx/5)=5(cosa sinx+sina cosx)=5sin(a+x),其中cosa=3/5，sina=4/5，當a+x=90°時sin(a+x)=1最大，所以y最大值為5