Ax=0與Bx=0同解的充要條件是r(A)=r(B)=r(A；B)(A，B上下放置)。

可以轉化成方程組理解一下，r(A；B)=r(A)就說明以A為係數矩陣的方程組和以(A；B)為係數矩陣的方程組的約束條件數量一致，說明AX=0和BX=0兩個方程組等價。即同解。這是充分性。必要性也一樣可以通過方程組理解。

線性方程組的解法

1、克萊姆法則：用克萊姆法則求解方程組，有兩個前提，一是方程的個數要等於未知量的個數，二是係數矩陣的行列式要不等於零。

用克萊姆法則求解方程組實際上相當於用逆矩陣的方法求解線性方程組，它建立線性方程組的解與其係數和常數間的關系，但由於求解時要計算n+1個n階行列式，其工作量常常很大，所以克萊姆法則常用於理論證明，很少用於具體求解。

2、矩陣消元法：將線性方程組的增廣矩陣通過行的初等變換化為行簡化階梯形矩陣 ，則以行簡化階梯形矩陣為增廣矩陣的線性方程組與原方程組同解。當方程組有解時，將其中單位列向量對應的未知量取為非自由未知量，其餘的未知量取為自由未知量，即可找出線性方程組的解。

非齊次兩個解相減是齊次的一個解，求非齊次通解要加上特解，非齊次求出齊次的那個是基礎解系的一部分要帶上係數。

即y'+f(x)y=g(x)

兩個特解y1，y2

即y1'+f(x)y1=g(x)，y2'+f(x)y2=g(x)

二者相減得到

(y1-y2)'+f(x)*(y1-y2)=0

所以y1-y2當然是齊次方程

y'+f(x)*y=0的解

解的存在性

非齊次線性方程組

有解的充分必要條件是：係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否則為無解）。

非齊次線性方程組有唯一解的充要條件是rank(A)=n。

非齊次線性方程組有無窮多解的充要條件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩