關於 tan x 的斂散性，需要明確一個重要點：tan x 在某些點上是發散的，因為在這些點上 cos(x) = 0，導致 tan(x) 無定義。這些點是 π/2、3π/2、5π/2 等等，即 tan(x) 在 x = (2k + 1)π/2，其中 k 是任意整數，都不存在定義。

但是，如果我們考慮 tan x 的值在其他點上，它是收斂的。具體地說，tan x 在所有使得 cos(x) ≠ 0 的點上是收斂的。在這些點上，tan x 具有連續性，並且可以取任意實數值。

總結起來，tan x 的斂散性如下：

tan x 在所有使得 cos(x) ≠ 0 的點上是收斂的。

tan x 在 x = (2k + 1)π/2 的點上是發散的，這些點使得 cos(x) = 0，tan x 無定義。

冪級數通項為Cn x^n時,收斂半徑為:Cn/Cn+1 的極限交錯級數的斂散性的判定,一般用絕對收斂性去判定,即先判斷由通項的絕對值構成級數的斂散性

當x趨近於inf的情況下

f(x)=inf=g(x)=inf

所以：上下同時求導：f'(x)=1/x, g'(x)=1

于是有：lim(x->inf) = f'(x)/g'(x) = lim(x->inf):(1/x)/1 =0/1 =1

所以結果是‘0’



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極限的性質：

1、唯一性：若數列的極限存在，則極限值是唯一的，且它的任何子列的極限與原數列的相等。

2、有界性：如果一個數列’收斂‘（有極限），那麼這個數列一定有界。

常用極限公式：

1、e^x-1～x (x→0)

2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)

3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)

4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)

5、sinx~x (x→0)

6、tanx~x (x→0)

7、arcsinx~x (x→0)

8、arctanx~x (x→0)

9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)

10、a^x-1~xlna (x→0)

11、e^x-1~x (x→0)

12、ln(1+x)~x (x→0)

當x趨於正的無窮大時，lnx也趨於正的無窮大，

該極限不存在，但可以記成lim（x→+∞）lnx=+∞.

當x趨近於inf的情況下，f(x)=inf=g(x)=inf;

所以：上下同時求導：f'(x)=1/x, g'(x)=1

于是有：lim(x->inf) = f'(x)/g'(x) = lim(x->inf):(1/x)/1 =0/1 =1

所以結果是‘0’



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極限的思想方法貫穿於數學分析課程的始終。可以說數學分析中的幾乎所有的概念都離不開極限。在幾乎所有的數學分析著作中。

都是先介紹函數理論和極限的思想方法，然後利用極限的思想方法給出連續函數、導數、定積分、級數的斂散性、多元函數的偏導數，廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念。如：

（1）函數在 點連續的定義，是當自變量的增量趨於零時，函數值的增量趨於零的極限。

（2）函數在 點導數的定義，是函數值的增量 與自變量的增量 之比 ，當 時的極限。

（3）函數在 點上的定積分的定義，是當分割的細度趨於零時，積分和式的極限。

（4）數項級數的斂散性是用部分和數列 的極限來定義的。

（5）廣義積分是定積分其中 為，任意大於 的實數當 時的極限，等等。