f(x) = Pn(x) ( x 的一個n次多項式)

考慮 0 是否是該微分方程的特徵根，

(1) 0不是特徵根， 設 y * = Qn(x) ( x 的一個n次多項式)

(2) 0是 1 重特徵根， 設 y * = x * Qn(x)

(3) 0是 k 重特徵根， 設 y * = x^k * Qn(x)

例如： 特徵方程 r (r-1)³ (r+5)² = 0

則 r1 = 0 是1 重特徵根；r2 = 1 是 3 重特徵根；r3= -5 是 2 重特徵根。

當 0是1 重特徵根時，設 y * = x * Qn(x)， 或者設 y * = Q(n+1)(x) 結果相同。

擴展資料：

常係數線性微分方程組的求法：

(1)從方程組中消去一些未知函數及其各階導數，得到只含有一個未知函數的高階常係數線性微分方程。

(2)解此高階微分方程，求出滿足該方程的未知函數。

(3)把已求得的函數代入原方程組，一般來說。不必經過積分就可求出其餘的未知函數。

y'+P(x)y=Q(x)對應公式是y=e^(-∫P(x)dx)[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]

標準形式為y'+ytanx=secx，則P=tanx，Q=secx，所以有：

∫P(x)dx=-ln|cosx|；

e^(-∫P(x)dx)=cosx；

e^(∫P(x)dx)=secx；

∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx=∫(secx)^2dx=tanx；

所以通解為：y=cosx(tanx+C)=sinx+Ccosx

y(0)=1

0+C=1

C=1

y=sinx+cosx

對應的齊次線性方程式的通解

第二項是非齊次線性方程式（式1）的一個特解。由此可知，一階非齊次線性方程的通解等於對應的齊次線性方程的通解與非齊次線性方程的一個特解之和。

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程稱為一階線性微分方程，Q(x)稱為自由項。一階是方程中關於Y的導數是一階導數。線性，指的是方程簡化後的每一項關於y、y'的指數為1。

一階非齊次微分方程的通解等於對應的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和

y1'+P(x)·y1=Q(x)

y2'+P(x)·y2=Q(x)

兩式相減，得到

y1-y2是y'+P(x)·y=0的解

所以，C(y1-y2)是y'+P(x)·y=0的通解

求一階非齊次線性微分方程特解的新方法湯光宋摘要巧妙地利用高階導數，給出了求一階非齊次線性微分方程的特解的新方法．關鍵詞一階線性微分方程，非齊次，高階導數，特解分類號o175．1對於一階常係數非齊次線性微分方程其中p為非0常數，q（x）具有n＋1階導數，