首先，同向的不等式當然可以相加，這是沒問題。但是這種相加不可以逆向推導，這就是擴大了範圍的意思。這樣舉例說明吧。

如果有以下條件：a＞b；c＞d成立，那麼有以下結論：a+c＞b+d成立。

這個無論是從數學定理，還是從我們的常識來看，都是正確的。也就是說兩個較大的數相加，肯定比兩個較小的數相加要大。

但是反過來是否也成立呢？

即如果有以下條件：a+c＞b+d成立，那麼是否可以得到a＞b；c＞d成立呢？

得不到，這輕輕鬆鬆的就能舉出很多反例，證明這個結論不正確。

例如a=2；b=3；c=10，d=1；那麼a+c=2+10=12＞b+d=3+1=4，這是成立的。

但是a＞b；c＞d並不成立，a是小於b的。

所以a+c＞b+d成立不能得出a＞b；c＞d成立。

這兩個方向的命題說明了，“a+c＞b+d成立”比“a＞b；c＞d成立”的範圍更廣。

“a＞b；c＞d成立”則有“a+c＞b+d成立”

但是“a+c＞b+d成立”不一定有“a＞b；c＞d成立”

這就是同向不等式相加後，範圍擴大了的緣故。

常用的不等式的基本性質：a>b,b>c→a>c;

a>b →a+c>b+c;

a>b,c>0 → ac>bc;

a>b,c<0→ac<bc;

a>b>0,c>d>0 → ac>bd;

a>b,ab>0 → 1/a<1/b;

a>b>0 → a^n>b^n;

基本不等式：√(ab)≤(a+b)/2

那麼可以變為 a^2-2ab+b^2 ≥ 0

a^2+b^2 ≥ 2ab

ab≤a與b的平均數的平方

擴展：若有y=x1*x2*x3.....Xn 且x1+x2+x3+...+Xn=常數P,則Y的最大值為((x1+x2+x3+.....+Xn)/n)^n

絕對值不等式公式：

| |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b|

| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|

證明方法可利用向量，把a、b 看作向量，利用三角形兩邊之差小於第三邊，兩邊之和大於第三邊。

柯西不等式：

設a1,a2,…an,b1,b2…bn均是實數，則有(a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…an^2)*(b1^2+b2^2+…bn^2) 當且僅當ai=λbi(λ為常數，i=1,2.3,…n)時取等號。

排序不等式：

設a1,a2,…an；b1,b2…bn均是實數，且a1≥a2≥a3≥…≥an,b1≥b2≥b3≥…≥bn;則有a1b1+a2b2+…+anbn（順序和）≥a1b2+a2b1+a3b3+…+aibj+…+anbm（亂序和）≥a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1（逆序和）,僅當a1=a2=a3=…an,b1=b2=b3=…=bn時等號成立。