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  • 1 # 用戶7917301715850

    第一步:

    ax^3+bx^2+cx+d=0

    為了方便,約去a得到

    x^3+kx^2+mx+n=0

    令x=y-k/3 ,

    代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ,

    (y-k/3)^3中的y^2項係數是-k ,

    k(y-k/3)^2中的y^2項係數是k ,

    所以相加後y^2抵消 ,

    得到y^3+py+q=0,

    其中p=(-k^2/3)+m ,

    q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。

    第二步:

    方程x^3+px+q=0的三個根為:

    x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

    +[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3);

    x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

    +w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3);

    x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

    +w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3),

    其中w=(-1+i√3)/2。

    ×推導過程:

    1、方程x^3=1的解為x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ;

    2、方程x^3=A的解為x1=A^(1/3),x2=A^(1/3)ω,x3=A^(1/3)ω^2 ,

    3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),兩邊同時除以a,可變成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。

    再令x=y-a/3,代入可消去次高項,變成x^3+px+q=0的形式。

    設x=u+v是方程x^3+px+q=0的解,代入整理得:

    (u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①,

    如果u和v滿足uv=-p/3,u^3+v^3=-q則①成立,

    由一元二次方程韋達定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的兩個根。

    解之得,y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),

    不妨設A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),

    則u^3=A;v^3=B ,

    u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ;

    v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ,

    但是考慮到uv=-p/3,所以u、v只有三組解:

    u1= A^(1/3),v1= B^(1/3);

    u2=A^(1/3)ω,v2=B^(1/3)ω^2;

    u3=A^(1/3)ω^2,v3=B^(1/3)ω,

    最後:

    方程x^3+px+q=0的三個根也出來了,即

    x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3);

    x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2;

    x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

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