以下是7種求通項公式的方法，每種方法都附帶一個示例題：

1.差分法

示例題：已知數列1，2，4，7，11，16......，求其通項公式。

解法：先求一階差分數列，得到1，2，3，4，5......。繼續求一階差分數列，得到1，1，1，1......。顯然，這是一個等差數列，首項為1，公差為1。因此，原數列的通項公式為：an = (n+2)(n-1)/2。

2.遞推法

示例題：已知數列1，1，2，3，5，8......，求其通項公式。

解法：根據定義，斐波那契數列的遞推式為Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F1=1，F2=1。將其改寫成通項公式形式得：an = (1/sqrt(5))*[((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n]。因此，原數列的通項公式為：an = (1/sqrt(5))*[((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n]。

3.求和法

示例題：已知數列1，3，6，10，15，......，求其通項公式。

解法：根據公式，等差數列的和為Sn = (a1+an)*n/2，其中a1為首項，an為末項，n為項數。對原數列求一階差分數列，得到2，3，4，5，......，這是一個等差數列，首項為2，公差為1。根據公式，其和為S20 = (2+21)*20/2 = 230，因此，原數列的通項公式為：an = n*(n-1)/2 + 1。

4.猜解法

示例題：已知數列1，2，4，7，11，......，求其通項公式。

解法：觀察數列，發現每一項都是它前面的項加上常數，這是斐波那契數列的變形，猜測其通項公式為an = n*(n-1)/2 + 1。驗證得到：a1=1，a2=2，a3=4，a4=7，a5=11，......，符合數列要求。

5.配方法

示例題：已知數列1，4，9，16，25，......，求其通項公式。

解法：觀察數列，發現每一項都是它的下標的平方，因此猜測其通項公式為an = n^2。得到：a1=1，a2=4，a3=9，a4=16，a5=25，......，符合數列要求。

6.倍增法

示例題：已知數列1，2，4，8，16，......，求其通項公式。

解法：根據公式，等比數列的通項公式為an = a1*q^(n-1)，其中a1為首項，q為公比，n為項數。由於a1=1，可以先求出a8，然後利用它求出a16，以此類推。得到：a8=256，a16=65536，......，因此，通項公式為an = 2^(n-1)。

7.解方程法

示例題：已知數列1，3，6，10，15，......，求其通項公式。

解法：根據公式，等差數列的通項公式為an = a1 + (n-1)*d，其中a1為首項，d為公差，n為項數。將前五項帶入公式，得到兩個方程：a1+d = 3，a1+2*d = 6。解得a1=1，d=2。因此，通項公式為an = 1 + (n-1)*2。

以下是一些常見的計算通項公式的方法：

1. 形式遞推法：觀察數列中相鄰項之間的關系，尋找規律並建立遞推關係式。

例題：數列1, 2, 4, 8, ... 的通項公式是什麼？

解答：通過觀察可以發現，每一項都是前一項乘以2。因此，遞推關係式為 a(n) = 2 * a(n-1其中a(1)=1。可以得到通項公式 a(n) = 2^(n-1)。

2. 集合的項表示為集合，通過對集合的運算獲得數列性質。

例題：數列3, 6, 12, 是什麼？

解答：觀察這個數列可以發現，每一項都是前一項乘以2。可以將數列表示為集合 {3, 6, 12, 24, ...}，根據集合的性質可以得到通項公式 a(n) = 3 * 2^(n-1)。

3. 特殊值法：考慮數列中的特殊值，如第一項、最後一項等，從而得到數列的通項公式。

例題：數列1, 4, 9, 16, ... 的通項公式是什麼？

解答：觀察這個數列可以發現，每一項都是其索引的平方。因此，通項公式可以表示為 a(n) = n^2。

4. 等差數列和差法：將數列表示為等差數列的和與差的形式，通過計等差數列的和與差來推導通項公式。

例題：數列2, 5, 8, 11, ... 的通項公式是什麼？

解答：將這個數列表示為等差數列的和與差的形式，可以得到 an-1)，其中a(1)=2。

5. 線性遞推法：通過構建線性遞推關係式，利用矩陣冪求解通項公式��

6. 公式法：使用已知的數學公式來計算數列的通項公式。

例題：數列1, 3, 6, 10, ... 的通項公式是什麼?

解答：觀察這個數列可以發現，每一項都是前一項加上一個連續遞增的正整數。根據求和公式，可以推導出通項公式為 a(n) = n*(n+1)/2，其中a(1)=1。

7. 生成函數法：利用生成函數的技術來計算數列的通些方法可以用於不同類型的數列，並且有時候需要結合多種方法來推導通項公式。

通項公式是指給定數列的第n項與n的關係式。下面介紹7種求通項公式的方法：

1. 枚舉法：觀察數列前幾項的規律，根據規律寫出通項公式。例如，數列1, 3, 5, 7...的通項公式為an = 2n - 1。

2. 遞推法：利用數列的遞推關係式求通項公式。例如，已知數列的前幾項，通過前一項和當前項之間的關系寫出遞推公式，再解此遞推公式得到通項公式。

3. 差分法：對數列進行差分，直到得到一個常數數列，再根據常數數列的通項公式求得原數列的通項公式。例如，數列1, 4, 9, 16...差分後得到數列3, 5, 7...，再差分得到數列2, 2, 2...，得到通項公式an = n^2。

4. 代數法：將數列的前幾項表示為代數式，通過等式推導得到通項公式。例如，數列1, 4, 9, 16可以表示為an = n^2，進一步可推導得到通項公式an = (n + 1)^2 - 1。

5. 生成函數法：將數列的每一項與x的冪相乘，再將所有項相加，得到一個生成函數，通過化簡生成函數得到通項公式。例如，數列1, 2, 4, 8可以表示為1 + 2x + 4x^2 + 8x^3，化簡得到通項公式an = 2^n。

6. 等比數列法：當數列滿足等比關系時，通常可以求得其通項公式。例如，數列1, 2, 4, 8...為等比數列，其通項公式為an = 2^(n-1)。

7. 和差法：將數列拆分成兩個部分，並找出這兩個部分的通項公式，再通過和、差、積等運算得到原數列的通項公式。例如，數列1, -3, 9, -27可以拆分為兩個等比數列1, 9, 81...和-3, -27, -243...，再將兩個等比數列相加得到通項公式an = (2/3)^n + (-2/3)^n。

通過以上7種方法，可以求得大多數數列的通項公式，進而推斷數列的任意項。