一元三次方程求根公式

公式法

若用A、B換元后，公式可簡記為：

x1=A^(1/3)+B^(1/3)；

x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；

x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

判別法

當△=(q/2)^2+(p/3)^3>0時，有一個實根和一對個共軛虛根；

當△=(q/2)^2+(p/3)^3=0時，有三個實根，其中兩個相等；

當△=(q/2)^2+(p/3)^3<0時，有三個不相等的實根。

一元三次方程可以使用以下方法解決：

1. 直接使用公式進行求解：一元三次方程的求解方法是利用公式求解的。根據一元三次方程的通式ax³+bx²+cx+d=0，可以使用公式求解。這個公式稱為“立方根公式”。

2. 因式分解：有時候，一元三次方程可以通過因式分解的方法轉化為一元二次方程，從而得到根的值。這種方法通常適用於方程有一個或多個實數根的情況。

3. 迭代法：迭代法是一個數值計算方法，可以用來求解一元三次方程的根。這種方法需要給出一個初值，然後通過不斷迭代，逼近方程的根。這種方法通常適用於方程沒有實數根的情況。

4. 數值逼近法：數值逼近法是一種基於數值計算的方法，通過逼近方程的根來求解方程。這種方法通常適用於一元三次方程有多個實數根的情況。

一元三次方程有三種解法：卡爾丹公式法、盛金公式法和因式分解法1。其中，卡爾丹公式法適用於特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0，而因式分解法一般只適用於存在有理數根的方程，可以通過因式分解將方程降次1。

對於一般形式的三次方程，可以使用變換或差根變換將其化為不含二次項的一元三次方程，然後使用綜合除法求解

一元三次方程求根公式的解法

一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d+0的標準型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。歸納出來的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即為兩個開立方之和。歸納出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出開立方裡面的內容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：

（1）將x=A^(1/3)+B^(1/3)兩邊同時立方可以得到

（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))

（3）由於x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化為

x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移項可得

（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較，可知

(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化簡得

（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3

（7）這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題，因為A和B可以看作是一元二次方程的兩個根，而(6)則是關於形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達定理，即

（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a

(9)對比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a

(10)由於型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為

y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)

y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)

可化為

(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

將(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得

(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)

B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)

(13)將A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得

(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)

式 (14)只是一元三方程的一個實根解，按韋達定理一元三次方程應該有三個根，不過按韋達定理一元三次方程只要求出了其中一個根，另兩個根就容易求出了。