增函數的定義:一般地,設函數f(x)的定義域為D,如果對於定義域D內的某個區間上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)<=f(x2),那麼就說f(x)在這個區間上是增函數。

此區間就叫做函數f(x)的單調增區間。增函數+增函數=增函數減函數+減函數=減函數增函數-減函數=增函數減函數-增函數=減函數簡單地說，增函數就是指函數值隨自變量的增大而增大



函數的單調性指的是函數的增減性。函數在其定義域內的某個區間上的單調性可以分為單調增、單調減、不具有單調性三種情況。



函數的單調性

一、單調遞增與增函數

如果函數y=f(x)，對於定義域內的某個區間D上的任意兩個自變量a、b，當a<b時都有f(a)<f(b)，則稱f(x)在區間D上單調遞增，同時把區間D稱為函數y=f(x)的一個單調遞增區間。

【注】定義中的“當a<b時都有f(a)<f(b)”與“當a>b時都有f(a)>f(b)”等價。注意到a-b≠0，定義中的 “當a<b時都有f(a)<f(b)”還與“[f(a)-f(b)]/(a-b)>0”等價。

特別地，當函數y=f(x)在它的整個定義域上單調遞增時，就稱函數f(x)是其定義域上的增函數，常簡稱為增函數。

【注】函數在某個區間上恆增的區間，才是這個函數的單調遞增區間。



y=x^2當x0時為減函數，x0時為增函數

二、單調遞減與減函數

如果函數y=f(x)，對於定義域內的某個區間D上的任意兩個自變量a、b，當a<b時都有f(a)>f(b)，則稱f(x)在區間D上單調遞減，同時把區間D稱為函數y=f(x)的一個單調遞減區間。

【注】定義中的“當a<b時都有f(a)>f(b)”與“當a>b時都有f(a)<f(b)”等價。注意到a-b≠0，定義中的 “當a<b時都有f(a)>f(b)”還與“[f(a)-f(b)]/(a-b)<0”等價。

特別地，當函數y=f(x)在它的整個定義域上單調遞減時，就稱函數f(x)是其定義域上的減函數，常簡稱為減函數。

【注】函數在某個區間上恆減的區間，才是這個函數的單調遞減區間。

三、不具有單調性

如果函數y=f(x)，在其定義域內的某個區間D上既不單調遞增，也不單調遞減，就稱函數f(x)在區間D上不具有單調性。一般地，在某個區間D上不具有單調性的函數，函數圖像在這個區間D上“有升有降，升降共存”。

特別地，當函數y=f(x)在它的定義域上不具有單調性時，就稱函數f(x)不是其定義域上的單調函數。此時的函數圖象在其定義域上也是“有升有降，升降共存”。如：正弦函數y=sinx，x∈R。結合正弦函數圖象可知，正弦函數既有單調遞增區間也有遞減區間，但卻不是定義域R上的單調函數。



函數不是定義域上的單調增（減）函數時，往往仍有可能是其定義域的某個子區間上的單調函數。如“y=1/x”不是定義域內的減函數，但卻是“x<0”和“x>0”上的減函數。（注：函數的單調性指的是函數在某個區間上恆增或恆減，函數有增又有減的區間不是這個函數的單調區間。）

所以說，在整個定義域上不具有單調性的函數有可能在定義域的某個子區間上具有單調性。反之，在函數定義域的某個子區間具有單調性的函數未必在其整個定義域上具有單調性。

四、圖象法判斷函數的單調性

1、函數在某個區間單調遞增，等價於從左向右看時，函數在這個區間上的圖象呈‘上升’趨勢；函數是增函數，等價於從左向右看時，函數在其整個定義域上的圖象呈“上升”趨勢。

2、函數在某個區間單調遞減，等價於從左向右看時，函數在這個區間上的圖象呈“下降”趨勢。函數是減函數，等價於從左向右看時，函數在其整個定義域上的圖象呈“下降”趨勢。

五、常用的性質

1、兩個增函數的和還是增函數。

2、兩個減函數的和還是減函數。

3、增函數減去減函數等於增函數。

4、減函數減去增函數等於減函數。

5、複合函數的單調性法則：“同增異減”。即內層函數和外層函數的單調性相同（同增或同減）時，為增函數；內層函數和外層函數的單調性相反（一增一減）時，為減函數；

嚴格說，增函數應該細分為 “增函數” 與 “嚴格增函數”。

函數 f(x) 稱為增函數，如果滿足：對定義域內的任意 x1