三角形的四個心分別是重心、外心、內心和垂心，它們的向量表示和推導如下：

1. 重心G的向量表示和推導：

重心G是由三角形三個頂點的向量之和再除以3得到的，即 G = (A+B+C)/3。

其中，A、B、C分別為三角形ABC的三個頂點的向量表示。

2. 外心O的向量表示和推導：

外心O是三角形的外接圓心，可以通過求三條垂直平分線相交的點得到。

設三角形的三邊分別為AB、BC、AC，對應中垂線分別為D、E、F，則外心O是三條垂直平分線DE、EF、FD的交點。

因此，可以用向量表示來計算O點的坐標，方法如下：

a. 求三邊上的中點M1、M2、M3，即M1=(A+B)/2, M2=(B+C)/2, M3=(A+C)/2。

b. 求出兩個垂直平分線的方向向量u和v，其中u=M2-M1，v=M3-M1。

c. 求出垂直平分線上一點P，即P=M1+u x (v x u)/(v x u)。

d. O點坐標為P的向量表示，即 O = P。

其中，“x”表示向量的叉積運算，“/”表示向量的數量積運算（即點積）。

3. 內心I的向量表示和推導：

內心I是三角形的內切圓心，可以通過求三邊的角平分線相交的點得到。

設三角形的三邊為AB、BC、AC，角A的平分線交BC於點D，角B的平分線交AC於點E，角C的平分線交AB於點F，則內心I是三條角平分線AD、BE和CF的交點。

因此，可以用向量表示來計算I點的坐標，方法如下：

a. 求出角B和角C的平分線的交點P1，即P1=B+(C-B)/(|C-B|+|C-A|)。

b. 同理，求出角A和角C的平分線的交點P2，即P2=C+(A-C)/(|A-C|+|A-B|)。

c. 最後，求出角A和角B的平分線的交點，即I=A+(B-A)x(P1-A)/(B-A)x(P1-A)+(C-A)x(P2-A)/(C-A)x(P2-A)。

其中，“| |”表示向量的模運算，即長度或大小。