垂徑定理是平面幾何中的基本定理之一，它表明，如果在一個直角三角形上，從直角所在的頂點向斜邊引垂線，那麼垂線所形成的兩個線段乘積等於垂線上某一點到直角點的距離，即：

$AB \times BC= AC\times BD.$

現在我們來證明它的一個推論：

推論：若過直角三角形 $ABC$ 直角的直線 $DE$ ，交直角邊 $BC$ 於 $F$ ，交斜邊 $AB$ 於G，交斜邊 $AC$ 於 $H$ ，則

$BF \times FC = AF\times FG + AE\times EH.$

證明：

首先，我們連接 $FH$ 和 $GD$ 並相交於點 $K$。然後根據垂徑定理，我們可以列出以下等式：

$AF \times FG = AB \times BD - FB \times BC.$

和

$AE \times EH = AC \times CD - FC \times BC.$

通過兩個等式相加，得到：

$AF \times FG + AE \times EH = (AB \times BD + AC \times CD) - BC \times (FB + FC).$

我們將 $BE$、$DE$ 相交的點記為 $K$，由相似三角形 $\triangle BKF \sim \triangle EKC$ 可知：

$\frac{BF}{EK} = \frac{FB}{EC}.$

$\frac{FC}{EK} = \frac{DC}{EK} = \frac{EC}{EB}.$

所以，

$BF \times FC = \frac{BF}{EK} \times EK \times \frac{FC}{EK} = \frac{FB}{EC} \times \frac{EC}{EB} \times EK^2.$

即

$BF \times FC = FB \times \frac{EK^2}{BE} \times EC.$

由類比可知，點 $K$ 到 $AB$ 和 $AC$ 的距離分別為 $\frac{EK^2}{BE}$ 和 $\frac{EK^2}{CE}$，所以可以重寫為：

$BF \times FC = FB\times FG + AE\times EH.$

綜上所述，我們證明了該推論，垂徑定理的相關推論也可以用類似的方法進行證明。