A可以是復矩陣的話, 是有反例的: A = [0,i;-i,0], I+A = [1,i;-i,1], 有|I+A| = 0. 限制A是實矩陣時是成立的. 關鍵在於反對稱實矩陣的特徵值都是純虛數或0, 所以-1不是A的特徵值, 0不是I+A的特徵值, 即I+A可逆. 至於"反對稱實矩陣的特徵值都是純虛數或0"的證明: 設復向量X是屬於A的復特徵值λ的特徵向量, 即AX = λX. 設Y是X的複共軛, μ是λ的複共軛, 由A是實矩陣可得AY = μY. 取轉置得-Y'A = Y'A' = μY', 故-μY'X = Y'AX = λY'X. 由X不是零向量, Y是X的複共軛, 可知Y'X ≠ 0, 從而μ = -λ. 即λ的複共軛是其相反數, 也即λ是純虛數或0. 或者也可以由iA是Hermite矩陣, 特徵值均為實數來證明.
A可以是復矩陣的話, 是有反例的: A = [0,i;-i,0], I+A = [1,i;-i,1], 有|I+A| = 0. 限制A是實矩陣時是成立的. 關鍵在於反對稱實矩陣的特徵值都是純虛數或0, 所以-1不是A的特徵值, 0不是I+A的特徵值, 即I+A可逆. 至於"反對稱實矩陣的特徵值都是純虛數或0"的證明: 設復向量X是屬於A的復特徵值λ的特徵向量, 即AX = λX. 設Y是X的複共軛, μ是λ的複共軛, 由A是實矩陣可得AY = μY. 取轉置得-Y'A = Y'A' = μY', 故-μY'X = Y'AX = λY'X. 由X不是零向量, Y是X的複共軛, 可知Y'X ≠ 0, 從而μ = -λ. 即λ的複共軛是其相反數, 也即λ是純虛數或0. 或者也可以由iA是Hermite矩陣, 特徵值均為實數來證明.