斜坡函數

斜坡函數是一元實函數，因其圖像像斜坡而得名。斜坡函數在負半軸函數值為零，正半軸為形如y=At的正比例函數。A=1時，稱為單位斜坡函數。斜坡函數是系統動力學中經常用來研究系統模型及其反饋系統的有關信息的測試函數。

基本信息

外文名 ramp function

定義

斜坡函數 具有多種定義方式，以單位斜坡函數為例：

方程組：

最大值函數：

絕對值：

麥考利括號：

解析性質

非負性

在定義域內函數值非負，因此絕對值等於自己，即

和

導數

導數是赫維賽德（Heaviside）階躍函數

二階導數

單位斜坡函數的二階導數滿足

其中，為狄拉克δ函數（又名沖激函數）。這表明對任意二階可微的函數 應滿足

傅里葉變換

對單位斜坡信號來說，其傅里葉變換為

拉普拉斯變換

對單位斜坡信號來說，其拉普拉斯變換為

代數性質

迭代不變性

斜坡函數的每個迭代函數都是其自身：

證明：

此處應用到非零性質。

應用

自動控制中的一種典型輸入信號。

斜坡函數是一種分段函數，通常用來描述一個變量在某個範圍內線性增加或減少的情況。斜坡函數的參數定義如下：

假設斜坡函數為 $f(x)$，其定義域是 $[a,b]$，斜率為 $m$，截距為 $n$。

- 當 $x<a$ 時，$f(x)=n$。

- 當 $a\leq x \leq b$ 時，$f(x)=mx+n$。

- 當 $x>b$ 時，$f(x)=mx+n$。

其中，當 $a=b$ 時，斜坡函數相當於常數函數，表示在一段區間內變量的值保持不變。當 $m>0$ 時，斜坡函數表示在一個範圍內變量的值隨著自變量單調遞增；當 $m<0$ 時，斜坡函數表示在一個範圍內變量的值隨著自變量單調遞減。

需要注意的是，斜坡函數的定義域和值域可以根據需要進行擴展和限制。此外，在具體的應用中，斜坡函數常常還帶有一些脩飾參數，比如速率、延遲、平滑度等等。