要判斷向量的線性相關和線性無關性，需要找出它們之間的關系。具體而言，如果有一組向量 $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_n$，它們滿足以下條件，則它們是線性相關的：1. 存在一個或多個不全為0的實數 $k_1, k_2, \cdots, k_n$，使得 $k_1 \boldsymbol{v}_1 + k_2 \boldsymbol{v}_2 + \cdots + k_n \boldsymbol{v}_n = \boldsymbol{0}$。
2. 如果向量 $\boldsymbol{v}_i$ 可以表示成其他向量的線性組合，則它可以被從向量集合中移除，而向量組不受影響。
如果上述條件不成立，則這組向量是線性無關的。
舉個例子，如果有兩個向量 $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，它們是否線性相關呢？我們可以寫出它們的線性組合：
$a \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
解得 $a = -b$，于是它們是線性相關的。如果我們再加一個向量 $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，則可以發現這三個向量是線性無關的，因為無法找到任何一組不為0的係數，使得它們的線性組合等於$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。
要判斷向量的線性相關和線性無關性，需要找出它們之間的關系。具體而言，如果有一組向量 $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_n$，它們滿足以下條件，則它們是線性相關的：1. 存在一個或多個不全為0的實數 $k_1, k_2, \cdots, k_n$，使得 $k_1 \boldsymbol{v}_1 + k_2 \boldsymbol{v}_2 + \cdots + k_n \boldsymbol{v}_n = \boldsymbol{0}$。
2. 如果向量 $\boldsymbol{v}_i$ 可以表示成其他向量的線性組合，則它可以被從向量集合中移除，而向量組不受影響。
如果上述條件不成立，則這組向量是線性無關的。
舉個例子，如果有兩個向量 $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，它們是否線性相關呢？我們可以寫出它們的線性組合：
$a \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
解得 $a = -b$，于是它們是線性相關的。如果我們再加一個向量 $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，則可以發現這三個向量是線性無關的，因為無法找到任何一組不為0的係數，使得它們的線性組合等於$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。