柯西收斂準則沒有六種形式，只有一種形式，柯西極限存在準則又叫柯西收斂原理，給出了收斂的充分必要條件。
柯西極限存在準則，又稱柯西收斂準則，是用來判斷某個式子是否收斂的充要條件（不限於數列），主要應用在以下方面：數列、數項級數、函數、反常積分、函數列和函數項級數每個方面都對應一個柯西準則，因此下文將按照不同的方面對準則進行說明。
充分性
由於數列的柯西收斂準則是實數連續性的體現之一，所以用實數公理——戴德金定理證明{xn}收斂。
首先證明柯西序列是有界的。根據柯西序列的定義，對任意ε>0，存在正整數N，當m,n>N時，有|xn-xm|<ε。
于是取m=N+1，則當n>N時，|xn-xN+1|<ε。
解得xN+1-ε<xn<xN+1+ε，即當n>N時，{xn}既有上界又有下界，所以是有界的
柯西收斂準則沒有六種形式，只有一種形式，柯西極限存在準則又叫柯西收斂原理，給出了收斂的充分必要條件。
柯西極限存在準則，又稱柯西收斂準則，是用來判斷某個式子是否收斂的充要條件（不限於數列），主要應用在以下方面：數列、數項級數、函數、反常積分、函數列和函數項級數每個方面都對應一個柯西準則，因此下文將按照不同的方面對準則進行說明。
充分性
由於數列的柯西收斂準則是實數連續性的體現之一，所以用實數公理——戴德金定理證明{xn}收斂。
首先證明柯西序列是有界的。根據柯西序列的定義，對任意ε>0，存在正整數N，當m,n>N時，有|xn-xm|<ε。
于是取m=N+1，則當n>N時，|xn-xN+1|<ε。
解得xN+1-ε<xn<xN+1+ε，即當n>N時，{xn}既有上界又有下界，所以是有界的