歐幾里得111、歷、史、歷史，歐幾里得證明√2是無理數的方法

歷史上，人們對“證明根號2是無理數”很感興趣（“就像人們對證明勾股定理很感興趣一樣。”中學生說）。

…歷：這個“歷”字的上古形體很有意思。甲骨文①的上部是兩棵“禾”，表示一行一行的莊稼，下部是一隻腳（止），腳趾朝上，腳後根朝下，表示腳步從一行一行的莊稼中走過。金文②的左上邊增加了個“廠”字，表明在山崖之前種有一行行整整齊齊的莊稼。小篆（zhuàn）③把甲骨文和金文合併，雖然字形複雜了，但是表意更為全面，表示人的腳步從山崖前的莊稼田中一步一步地走過。楷書④的形體是直接從小篆變來的。⑤是簡化字，這就變成了一個外形（廠）內聲（力）的新形聲字了。

“歷”字的本義是“經過”，如司馬遷在《報任安書》中說：“足歷王庭。”也就是說：從匈奴君主的住處走過。由這個本義又可以引申為“逐個地”、“一件一件地”，如《漢書·藝文志》：“歷記成敗存亡禍福古今之道。”大意是：一件一件地記載古今成敗存亡禍福的道理。從這個意義出發，後世就產生了新疊音詞“歷歷”了，如杜甫還曾以“歷歷”為題寫了一首《歷歷》詩，詩中說：“歷歷開元事，分明在眼前。”

時間的推移是一月月一年年地前進的，所以表示曆法、曆書的“歷”字，古人想得很周到，把“歷”改為“暦”，以“日”代“止”，很有道理。

請注意：“歷”字異體字較多。如“暦”、“歴”、“厤”等。不管哪種寫法，現均寫作“歷”，便於記憶，書寫方便。

字義：

1.經歷；經過：來～。～程。～時半年。身～其境。

2.統指過去的各個或各次：～年。～代。～次。～屆。

3.遍；一個一個地：～訪各校。～試諸方，均無成效。

4.推算年月日和節氣的方法；曆法：陽～。陰～。農～。

5.記錄年月日和節氣的書、表等：日～。掛～。天文～…

[…形聲：一種造字法…是說字由“形”和“聲”兩部分合成，形旁和全字的意義有關，聲旁和全字的讀音有關。如由形旁“氵（水）”和聲旁“工、可”分別合成“江、河”…

…形聲字：用形聲造字法造出來的字…]

…史：會意字。商代甲骨文從“又持中”，“又”為手之象形，“中”為獵具，手持獵具會治事意。

“史”的本義是做事，又引申指史官。

引申指佐吏、歷史、史籍、文辭等。

字義：1.歷史：～學。近代～。世界～。有～以來。

2.古代掌管記載史實的官。

3.古代圖書四部分類法（經史子集）中的第二類：～書。～部…

[…會：理解；懂得：體～。誤～。心領神～。只可意～，不可言傳…

…意：意思：來～…

…會意：造字法之一。會意是說字的整體的意義由部分的意義合成，如“信”字。“人言為信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人說的話有信用…

…會意字：用會意造字法造出的漢字就是會意字…]

…歷史：歷史，簡稱“史”，指人類社會過去的事件和活動，以及對這些事件行為有系統的記錄、研究和詮（quán）釋。歷史是客觀存在的，無論文學家們如何書寫歷史，歷史都以自己的方式存在，不可改變。

其含義有三：1.記載和解釋作為一系列人類程序歷史事件的一門學科；2.沿革，來歷；3.過去的事實。

歷史的問題在於不斷髮現真的過去，用材料說話。

歷史是延伸的。歷史是文化的傳承，積累和擴充套件，是人類文明的軌跡。

歷史是不以人的意志為轉移的，但是，歷史是人書寫的，既然是人書寫的，就會夾雜著人的情感，人的喜怒知哀樂，所以說，所看到的歷史文字，是夾雜著人的情感的歷史。

歷史隨時產生，是人們在過去自由活動的如實記錄。它存在的意義是，讓人們總結過去，充實未來的生活，以史為鑑，借古論今。

詞義：1.自然界和人類社會的發展過程，也指某種事物的發展過程和個人的經歷：地球的～。人類的～。

2.過去的事實：這件事早已成為～。

3.過去事實的記載。

4.指歷史學…

（…總、結、總結：見《歐幾里得86》…）

…

…無、理、無理數：見《歐幾里得27》…

根號2是無理數”的證明方法層不出窮…以下是常見的幾種：

歐幾里得《幾何原本》中的證明方法：

證明√2是無理數

設√2不是無理數

∴√2是有理數

…∴：數學符號“所以”…見《歐幾里得77》…

令 √2=p/q（p、q互質）

…互質：公約數只有1的兩個整數，叫做互質整數…

互質數可以是負數嗎？——網友提問

2019-06-23，天蠍小文魚：質數定義：只有1和它本身兩個因數的自然數。負數不是自然數，因此互質數一定是正數。

“負數連質數都不是了，怎麼可能是互質數。”天蠍小文魚追答。

…

√2=p/q兩邊平方得：2=（p/q）2（2=“p/q”的平方）

即：2=p2/q2（2=“p的平方”/“q的平方”）

透過移項，得：2q2=p2（2×q的平方=p的平方）

∴p2（p的平方）為偶數[p的平方是某整數平方的2倍，由偶數定義（能被2整除的數）知，p的平方是偶數]

∴p為偶數（奇數的平方為奇數，偶數的平方為偶數）

不妨令p=2m，則有：2q2=（2m）2（2×q的平方=“2m”的平方）

2q2=（2m）2化簡一下得q2=2m2（q的平方=2×m的平方），於是q為偶數。

p為偶數，q也為偶數，p、q有公約數2，這與前提“p、q互質”矛盾。

∴√2不是有理數

∴√2是無理數

（補充）“p為偶數，q也為偶數，p、q有公約數2，這與前提‘p、q互質’矛盾”推匯出“√2是無理數”的過程：

∵ “p、q有公約數2，p、q互質”不符合數學事實

∴ “p、q有公約數2，p、q互質”為假

…事、實、事實：見《歐幾里得6、7》…

…∵：數學符號“因為”…見《歐幾里得77》…

…假：不符合事實…見《歐幾里得75》…

“√2不是無理數”能推匯出“p、q有公約數2，p、q互質”的推論。

…推、導、推導：見《歐幾里得7》…

…論、推論：見《歐幾里得66》…

∵ 推導方法正確，推論假，推匯出推論的命題必為假（邏輯關係）

∴ “√2不是無理數”為假

…命、題、命題：見《歐幾里得70》…

…邏、輯、邏輯：見《歐幾里得5》…

∵ 兩個互相矛盾的命題，不可能同時為真，必有一假（矛盾律）

…矛盾律：見《歐幾里得73》…

∴ “√2不是無理數”“√2是無理數”必有一假

∵ 兩個互相矛盾的命題，不可能同時為假，必有一真（排中律）

…排中律：見《歐幾里得72~74》…

∴ “√2不是無理數”為假時，“√2是無理數”為真

…真：符合事實…見《歐幾里得75》…

∴ √2是無理數

“√2 是一個非常著名的無理數，第一個發現並堅持這個結果的希帕索斯因此付出了生命的代價——後世的數學史家所說的“第一次數學危機”蓋源於此。

請看下集《歐幾里得112、√2 是無理數，發現並堅持這個結果的希帕索斯付出生命代價》”

若不知曉歷史，便看不清未來