歐幾里得112、√2 是無理數，發現並堅持這個結果的希帕索斯付出生命代價
2015-02-07，寂寞de小老鼠上傳名為《證明根號2是無理數的八種方法》的文章。
…無、理、無理數：見《歐幾里得27》…
文章內容：怎樣證明√2是一個無理數
√2 是一個非常著名的無理數，第一個發現並堅持這個結果的希帕索斯因此付出了生命的代價（見《歐幾里得17、18》）——後世的數學史家所說的“第一次數學危機”蓋源於此。
風暴過去後，喚醒的卻是數學家們對數的重新認識，實數的概念開始確立。在此意義上講，√2的發現是人們對真理的追求、探索以致明朗的一個極好例證。
…實、數、實數：見《歐幾里得37》…
…概、念、概念：見《歐幾里得22、23》…
…意、義、意義：見《歐幾里得26》…
…例、證、例證：見《歐幾里得57》…
…真、理、真理：見《歐幾里得43》…
換一個角度來看這個數，我們可以把它看作一根“晾衣繩”，上面掛著許多有趣的方法，值得你仔細玩味。我準備從不同的角度來證明√2是一個無理數，從而體會這一點。
…方、法、方法：見《歐幾里得2、3》…
證法1：尾數證明法
假設√2是一個有理數，即√2可以表示為一個分數的形式√2=a/b。其中（a，b）=1，a與b都是正整數。則a2=2b2（a的平方=2×b的平方）。
…形、式、形式：見《歐幾里得13》…
（a，b）=1什麼意思？？——網友提問
2019-05-18，小小芝麻大大夢：（a，b）=1，即a與b最大的公因數是1。
在數論中，記法（a，b）表示整數a與整數b的最大公約數（greatest common divisor，也譯作最大公因數），即所有能同時整除a與b的正整數中最大的那一個。
比如，能同時整除18和24的正整數一共有四個：1，2，3，6。其中 6 最大，那麼（18， 24）=6。
…數、論、數論：見《歐幾里得15》…
（a，b）=1，即a與b最大的公因數是1（所有比1大的正整數都不能同時整除a和b），也就是說，a與b互為質數的意思。
…質數：大於1的自然數中，除了1和它本身以外不再有其他因數的自然數…
…互為質數一般指互質數…
…互質數：公因數只有1的兩個非零自然數，叫做互質數。
互質數具有以下定理：
（1）公因數只有1的兩個非零自然數，叫做互質數。舉例：2和3，公因數只有1，為互質數；
（2）多個數的若干個最大公因數只有1的正整數，叫做互質數；
（3）兩個不同的質數，為互質數；
（4）1和任何自然數互質。兩個不同的質數互質。
（5）任何相鄰的兩個數互質…
（…定、理、定理：見《歐幾里得2》…）
由於完全平方數b2（b的平方）的尾數只能是0、1、4、5、6、9中的一個，因此2×b2（2×b的平方）的尾數只能是0、2、8中的一個。
…完全平方數：完全平方指用一個整數乘以自己，例如1×1，2×2，3×3等，依此類推。
若一個數能表示成某個整數的平方的形式，則稱這個數為完全平方數。
完全平方數是非負數。
如果一個正整數a是某一個整數b的平方，那麼這個正整數a叫做完全平方數。
零也可稱為完全平方數。
完全平方數性質如下：
（1）個位數字只能是 0， 1，4，5，6，9 ；
（2）任何偶數的平方一定能被 4 整除…
（…性、質、性質：見《歐幾里得37》…）
因為a2=2b2（a的平方=2×b的平方），所以a2（a的平方）與2b2（2×b的平方）的尾數都是0。
…a2（a的平方）的尾數為0、1、4、5、6、9中的一個，2b2（2×b的平方）的尾數為0、2、8中的一個，a2=2b2（a的平方=2×b的平方）。滿足上述條件的尾數只有0。因此，a2（a的平方）與2b2（2×b的平方）的尾數都是0…
因此，b2（b的平方）的尾數只能是0或5。
…2b2的尾數是0，b2（b的平方）的尾數為0、1、4、5、6、9中的一個。在0、1、4、5、6、9這些尾數中，只有0、5乘以2後，得到的新數的尾數是0。因此，b2（b的平方）的尾數是0或5…
因此，a與b有公因數5。
…∵ a2（a的平方）的尾數是0，尾數是0的正整數是5的倍數
∴ a2（a的平方）是5的倍數（此處運用的證明方法是三段論）
∴ a2（a的平方）含有因數5
∵ a2（a的平方）=a×a，a×a含有因數5
∴ a含有因數5
同理可證b含有因數5。
∴ a與b有公因數5
a與b有公因數5，這與（a，b）=1矛盾！因此√2是無理數。
這個證法可以證明被開方數的尾數是2、3、7、8的平方根都是無理數。
…根：見《歐幾里得57》…
…平方根：如果一個數的平方等於a，那麼這個數就是a的平方根，也叫做a的二次方根。例如：5×5=25，5就是25的平方根…
““冪”原指蓋東西布巾，數學中“冪”是乘方的結果，而乘方的表示，是透過在一個數字上加上標的形式來實現的，就像在一個數上“蓋上了一頭巾”。
請看下集《歐幾里得113、希帕索斯葬身海底的原因》”
若不知曉歷史，便看不清未來