在各個層次的數學課程中，從小學到博士後水平，都缺失了重要的一環，就是對模糊和混亂的創造過程的忠實描述，而這個缺失是數學課讓最積極的學生也感到厭倦的主要原因之一。如果對數學概念創造過程中的思想之舞沒有深刻認識，就無法充分領悟數學的優雅和美麗。這個過程不像看上去那樣難，但是需要徹底改變我們講授數學的方式。我們需要在教科書中至少納入一些錯誤的假設、推理和結論，讓學習者在接觸現代形式的定義之前體驗到這些。我們需要像講故事一樣寫教科書，讓書中的角色經常被難住，不知道下一步該往哪裡走。職業數學家每天都要用到這些策略，但是在教科書中和課堂上很少拿出來討論。

——《燒掉數學書：重新發明數學》作者Jason Wilkes

撰文 | 唐璐（任教於湖南大學，《燒掉數學書：重新發明數學》之譯者）

我們需要怎樣的數學教育？這個問題從未像今天這樣變得重要而又複雜。

被寄予厚望的數學教育

庚子年註定不平凡，新冠疫情尚未平息，中美衝突的陰影又籠罩在太平洋上，美國政府急不可耐扼殺華為等中國高科技企業的舉動，一夜之間讓光刻機這種小眾工業裝置成為了舉國矚目的焦點，彷彿是決定國運興衰的勝負手。身處漩渦的任正非老爺子倒是處變不驚，密集走訪中科院和多所名校，安撫各界情緒，並直陳要害不是光刻機，而是基礎科學和人才培養。

大國之間的科技角力，明面上是人工智慧、大資料、高階晶片和量子計算等領域的競爭，骨子裡比拼的卻是數學、物理等基礎學科的創新研究和人才培養。沒有一流的基礎學科實力，就不會有一流的高科技實力，更談不上有一流的國家實力。樓建得越高，地基就得打得越牢。

被寄予厚望的基礎學科教育能否擔此重任？目前的教育能不能為創新性基礎學科人才的成長提供合適的土壤？我們是走在正確的道路上還是在南轅北轍？答案恐怕是不言而喻的。

數學教育的弊端

受科舉歷史傳統的影響，中國學生在書本知識的學習上普遍投入大量時間和精力，由此使得絕大多數中國學生都承受著高考和學科競賽的巨大壓力（所謂的東亞內卷，尤其是近年來高中教育的普及和校外培訓行業的發展，競爭壓力迫使學生和家長不斷加碼資源投入，學業負擔讓人苦不堪言）。這也導致了教育體系（包括學校和培訓機構）以應試為價值導向，以取得考試績點為目的，這種導向在數學教學中的表現就是側重解題能力的訓練，因為要想在有限的考試時間內獲取高績點，最有效的手段就是集中精力訓練解題技巧。

以獲得考試績點為目的，以訓練解題技巧為手段，這樣的數學教育會帶來兩方面的弊端：一是學習動力難以持久；二是學生會將數學等同於解題，對數學的認識產生偏差。

功利性目標扼殺對數學的興趣

以獲得績點為目的學習數學，本質上是透過考試施加壓力，用高績點刺激學習者的大腦分泌多巴胺，從而為學習行為提供動力。這種做法會造成兩個後果：一是在學習起步階段沒有獲得好成績的學生很難獲得學習動力；二是獲得了好成績的學生一旦失去了績點這根胡蘿蔔，同時也會失去學習動力。

中國學生在國際數學奧林匹克競賽的成績歷年來都很出色，但獲獎者中繼續從事數學研究的人並不多，這是一大主因。因為很多奧賽參與者的出發點就是獲獎，從而獲得升學等一系列好處，這樣一旦奧賽和考試遊戲結束，無論獲勝者還是失意者，這根胡蘿蔔都不復存在，除了職稱和帽子，很多人再也找不到學習和研究數學的動力。這也造就了中國學生在以解題為主旨的國際數學奧林匹克競賽中爭金奪銀如探囊取物，而中國的數學研究在國際數學界的影響卻不大的尷尬局面。如果說數學奧賽是短跑，成為優秀的研究者則更像是長跑，而能讓人維持長期行為動力的因素只能是興趣。

強調興趣驅動並不是要將興趣放在與奧數相對立的立場上去。事實上，有很多一流的數學家，例如證明了龐加萊猜想的俄羅斯數學隱士佩雷爾曼，曾獲得菲爾茲獎的華裔數學家陶哲軒，以及近年來在國際數學界聲名鵲起的惲之瑋、許晨陽等北大數學“黃金一代”，都曾是奧賽獲獎者。追求績點本身無可厚非，我們要警惕的是將績點和獲獎作為唯一或最重要的目標，從而讓學生喪失了興趣和長期學習的驅動力。

解題技巧訓練誤導對數學的認識

以訓練解題技巧為主旨，是當下數學教育的另一大弊端。這其中對低齡兒童的解題技巧訓練為害尤甚。在現實壓力和利益驅動下，許多培訓機構和焦慮的家長熱衷於向低齡小學生灌輸各種解題技巧。過早和過多的解題技巧訓練嚴重違背兒童認知發展規律，直接扼殺了兒童對數學自然萌發興趣的可能。而這種自然萌發的興趣正是最寶貴的需要精心呵護的學習驅動力，回顧數學大師們的成長曆程，最初的驅動力無一例外不是來自於這種自然萌發的興趣遇到了寬鬆而有營養的環境。

對於中學生來說，面臨升學壓力無法迴避大量刷題，但也不能因此放棄對數學本質的深入認識。過度的解題技巧訓練並不能有效提高學生的數學認識水平，反而會誤導學生將數學等同於解題，妨礙對數學建立正確的認知。

學術研究不同於考試和學科競賽，關鍵在於創新而不是解題能力。只會解題而不擅長提出問題，就永遠只能跟著別人的思路走，註定做不出一流的研究。只有將創新潛能釋放出來，才有可能成為引領潮流的弄潮兒。因此數學教育應當讓學生認識到，數學不是呆板的不容許變通的知識，而是一門動態的發展中的學科。

數學教育應當展示如何創造

數學創新能力可能來自天賦遇到合適的土壤；也可能來自師徒相授，耳濡目染大師創造數學的過程，從而習得其精髓。大部分人則只能透過閱讀各種著作尤其是第一手著述來了解這個創造過程。現代數學已越來越專業化和嚴格化，學習前沿數學的門檻因此也水漲船高，需要學習大量的專業知識作為基礎。然後在達到這一階段之前，很多學生的思維已被過度的解題技巧訓練固化，靈性已被磨滅殆盡。

對於大部分不會從事數學研究的學生來說，過多的解題技巧訓練同樣無益。應用領域與數學的發展相輔相成，數學的應用更側重於針對現實世界現象的創造性抽象思維能力，而不是解題技巧。因此，在基礎數學教育階段，除了講授解題，還應當向學生講授數學思維的本質，展示數學的創造過程。

以獲得績點為價值導向，以解題技巧訓練為主旨的數學教育體系，既不利於國家的人才培養，也不利於個人的真正成長。無數家長和學生投入不計其數的時間、精力和金錢，得到的卻是國家和個人雙輸的局面。面對這種互害式的囚徒困境，一方面需要家長和學生對待績點採取更加理性的態度，另一方面也需要數學教育專業人士站在更高的立場上不斷進行新的嘗試。

針對數學教育的兩大弊端，好的數學教育應當迴歸數學的本源，展示出數學的創造過程，透過對數學知識體系構建過程的清晰呈現讓學生既見樹木也見森林，是引導學生興趣，讓學生入門的最佳途徑。

“燒掉數學書”，另闢蹊徑

在諸多數學教育方式的嘗試中，近期出版的《燒掉數學書——重新發明數學》（湖南科學技術出版社，2020年9月）一書很值得關注。從書名可以看出，這是一本從知識的創造過程著手講述數學的書。在這本書中，數學不再是課本灌輸給我們的知識，而是我們的發明，是人類共同參與的創造活動的產物。這本書的目的不是幫你提升解題技巧，而是講述數學為何是這樣，用輕鬆的風格展示出數學的創造過程。

書名“燒掉數學書”並不是慫恿你真去燒書，而是提醒你對兩類數學書保持警惕，要讓這些書為自己所用，而不要讓自己為書所困。

首先需要警惕的是把學生訓練成做題機器的數學輔導書。在目前的中小學數學教學和培訓中，絕大多數老師都將學數學視為學習如何解題。這也導致很多學生對數學的認識產生侷限性，甚至視數學為畏途。學數學必須做題，但數學絕不是隻有做題。《燒掉數學書》正是難得的一本能糾正中學生和大學生對數學的這種錯誤認知的書。

還有一類需要警惕的書是用嚴格性折磨學生的大學數學課本。不知有多少熬過了中學題海折磨的學生，僅存的一點對數學的熱情被微積分課程嚴格的ε-Δ語言當頭澆滅。受數學嚴格化和分支專業化影響，現代數學課本的作者熱衷於讓自己的著作無懈可擊，然而注重嚴格性的闡述方式適合專業讀者，卻並不適合初學者。

對於初次接觸微積分的學生來說，嚴格性並不是必需的，更重要的是理解微積分的思想根源。數學分析經歷了兩百年的發展才逐漸嚴格化，數學分析嚴格化的過程無疑是數學史中最瑰麗的篇章之一，但對於微積分的初學者和非數學專業學生來說，嚴格性絕對不是必需的，甚至構成了不必要的障礙。牛頓和萊布尼茨對微積分的闡述顯然談不上具有嚴格性，然而這並不妨礙他們是一流的數學大師。沒有嚴格性的數學走不遠，但嚴格性對於數學，就好比柺杖對於人，只是幫助我們前行的工具，而不是數學研究的目的本身，數學發展的精髓仍然在於天才直覺的引導。

針對數學教育中存在的這些弊端，《燒掉數學書》拋開傳統的數學符號體系，用自己的語言重新發明數學。書中採用“作者”、“讀者”和“數學”三個角色對話的形式，以小學生也能理解的加乘運算為基礎，逐步發明出各種數學概念，首先發明函式、面積和斜率的概念，接下來就直奔要旨，乾淨利落地推演出微積分基本定理，然後又回過頭來以此為基礎，從級數和極限的角度推演出自然常數e和圓周率π的性質等數學知識。這些知識在中學數學中往往是作為事實未經解釋直接給出，原因正是對其本質的理解需要以微積分為基礎。《燒掉數學書》則另闢蹊徑，從數學發展的本源出發重建了闡釋體系，從而讓讀者可以融會貫通。整本書的推演過程如同偵探小說般環環相扣，精彩紛呈，看似無關的線索最後匯聚到一起，清晰呈現出微積分的思想發展脈絡。

雖然僅以最基本的加乘運算為出發點，這本書的收尾卻絕不簡單，透過對函式概念的推廣，最終將書中建立的體系推進到了非專業大學數學不會講授的泛函。雖然這部分內容對於中學生來說可能略為艱深，但相信能堅持讀到最後的讀者一定會覺得不虛此行，因為這一部分最能體現出數學的終極武器——抽象化——的美和力量。

《燒掉數學書》最難能可貴和新穎之處在於，讀者可以看到這些數學知識是如何被創造的，而且讀者可以參與這個創造過程。針對當前的數學教育只重視解題技巧的弊端，《燒掉數學書》正適合當下的中學生或大學生閱讀，瞭解數學家思考數學的方式，矯正應試教育造成的對數學的扭曲認知。

《燒掉數學書》面向的讀者不限於正在學數學的學生，也適合認識到當前數學教育的弊端卻又無可奈何的老師和家長閱讀。作者雖然是美國人，但美國的數學教育面臨的一些問題也同中國一樣。書中對數學教育的弊端和如何改進有諸多探討，相信思考過這些問題的老師和家長從中一定會找到許多共鳴和啟發。

所有不甘心於自己對數學的理解停留在大學微積分課的似懂非懂，畢業後已經把數學還給老師的人同樣可以閱讀這本書，瞭解什麼是真正的數學，擺脫曾被數學習題支配的恐懼，說不定還會發現自己原來具有數學潛質呢！

數學對於大多數人不應只是解題和晦澀難懂的符號，數學教育也不應只有功利性目的。面對績點價值觀引導下的數學教育現狀，我們不能指望一本書就能帶來多大改觀。這就好比將種子撒播到石田，也許會顆粒無收，但種子也有可能掉落在石縫間的土壤上，有合適的機緣就會長出參天大樹。在現實壓力下，教育系統追求績點無可厚非，但不應以扼殺學習興趣為代價，至少應該為想要思考和探尋數學本質的學生提供機會和創造條件。進化出於生存的目的賦予了動物們眼睛和大腦，但人類的不同之處在於我們會用它們來仰望星空和思考無垠宇宙。