提升思維層次

導讀“順便提一句，如果今晚你恰好解答了其中的一個難題，請向期刊投稿，我們將在兩年後頒獎，每個難題的獎金是：一百——萬——美元！”剎那間，驚呼聲、口哨聲、擊掌聲，震天撼地！

“千禧年大獎難題”的誕生

千禧之際，永珍更新，數學界的柔風細雨中驚響起初夏的雷鳴。七個重要的數學問題！七百萬美元的鉅額獎金！克雷數學研究所公佈的大獎難題響徹巴黎大街小巷的雲霄，引人驚鴻一瞥，這一天，正是2000年5月24日。此事緣何而起？它又將何去何從？本文將以隻言片語，講述些許這注定不凡的往事。

“千禧年大獎難題”的誕生與克雷數學研究所的成立密不可分。1998年4月15日的晌午時分，哈佛教師活動中心古樸的餐廳中縈繞著人們的鶯鶯絮語。此時，克雷先生首次向我提起了建立一個軟體基金會的想法，他部分擁有一家瀕臨倒閉的公司，正適合改建成基金會。“這是一個爭取稅收優惠的好方法，但並不是花錢的最佳途徑。”我略作沉思提出了自己的建議，“倘若你願意為數學作一番事業，我必鼎力相助！”克雷先生眼眸一亮，他素來是科學和教育的大力贊助者。大約六週以後，他作出重大決定：另外設立一項基金會，專門支援數學。正所謂兵馬未動，糧草先行，這使我備受鼓舞。

經過深入的思考和充分的準備，我提交了十項可行的專案方案，包括其中的第八項——“千禧年大獎”計劃。當時，“千禧年”這個話題在全球如火如荼，我對這一計劃青睞有加。而阿蘭•孔涅（Alain Connes）、安德魯•懷爾斯（Andrew Wiles）和愛德華•威滕（Edward Witten）這幾位享譽世界的數學家們也陸續加入了這項事業。同年9月25日，克雷數學研究所成為註冊在美國特拉華州的基金會。第一次董事會議在11月10日召開，通過了這十個專案，並選舉出科學顧問委員會。1999年5月10日是看似尋常卻又無比奇妙的一天，大約450名數學家“不經意間”相聚在麻省理工學院，而克雷數學研究所的落成典禮也在節日般的氣氛中舉行了。當天，著名藝術家兼數學家海拉曼•弗格森（Helaman Ferguson）先生親手揭開他的傑作——一個陰雕的“8字結”雕塑（見圖b）—— 它由花崗岩製成，足足有半噸重。在紐結理論中，“8字結”是一個非常重要的範例，因而它被定為了克雷數學研究所的標誌（見圖c）。克雷數學研究所的主要目標和宗旨為：促進和傳播數學知識；在廣大科學工作者中宣揚數學領域的新發現；鼓勵具備天賦的年輕人從事數學職業；以及對數學研究中的非凡成就或巨大進步進行官方認證。伴隨著一系列的公眾講座和相關活動，克雷數學研究所正式拉開了歷史的一幕。

(a) 海拉曼•弗格森作品集

(b) 弗格森先生和“8字結”陰雕

(c) （現）克雷數學研究所標誌

“千禧年大獎難題”的誕生還與一百年前珍貴的歷史遙相呼應。1900年8月8日，希爾伯特在巴黎舉行的第二屆國際數學家大會上宣佈了十個問題，並在1902年正式出版了二十三個問題，它們被合稱為“希爾伯特問題”，引領了二十世紀數學的諸多研究方向。需要說明的是，“千禧年大獎難題”的設立初衷與“希爾伯特問題”截然不同，並非是為了預測或影響新世紀數學的發展傾向，而僅僅是為了彰顯一些未解的難題，以吸引大眾對數學的關注。當然，我們希望把2000年春夏和法國巴黎作為這些難題正式公佈的時間和地點，以此來表達對希爾伯特這位數學巨匠最誠摯的敬意。

甄選難題

關於第八項方案的最初計劃是透過競爭角逐的方式確立大獎難題，計劃書的原文是這樣寫的：“先擇取五十個科研問題，成文並出版成書籍，再從中選取數個‘特別問題’，數量不超過十二個。”一位參與者顯得憂心忡忡：“如果公開選取這十二個特殊問題，很容易引發選取流程的政治化傾向並引起爭議。” 我們最終決定由克雷數學研究所的科學顧問委員會直接決定問題擇取的事宜。該委員會的成員正是前文所提及的孔涅、懷爾斯、威滕和我。這時，時光的腳步已然悄無聲息地來到了1999年11月，我們猛然發現，距離2000年春夏只剩數月，只有創造奇蹟，才可能順利達成願景。

難題的數目其實並沒有預先設定，我們僅僅認為十二個是一個合理的上限。因為數量足夠少，令人得以專注其中；數量亦足夠多，使得選題不至於太狹隘。而具體的數目將取決於委員會的工作程序，當時的我們亦無法預測大獎難題的最終面貌。一開始，每個委員會成員都提交了一份清單，所有清單上都赫然出現了兩個名詞——“黎曼假設”和“龐加萊猜想”。毋庸置疑，它們入圍了。接著，委員會召開了頻繁的電話會議，我們興致勃勃地討論起各式各樣的問題，取得一致意見後，便把一個難題加入到名單中，或者用它替換掉一個已在名單上出現的難題。要知道，討論這些艱深的數學問題並作出合適的判斷是一個充滿艱難坎坷的過程，這耗費了我們大量的時間和精力。當遇到一個超出我們專業的問題時，我們會聯絡相關專家進行諮詢。我們努力地讓大獎難題不特別集中在某一個數學的領域，也正是由於這個原因，許多同樣好的問題遺憾地遭到了淘汰。慢慢地，討論的效率變得越來越低，再往名單中增加或替換單個難題都變得舉步維艱，而我對時間進度也越發擔憂。當我們在電話中難以取得進展時，我當機立斷，宣佈討論環節結束。這時，剛好列出了七個難題。數字“七”或許有很多特殊的含義，然而這一次，它的出現只因天意。

另一個重要的議題是：這些問題該以什麼形式提出？比如，龐加萊猜想可被推廣為瑟斯頓（Thurston）幾何化猜想，而黎曼假設與朗蘭茲綱領有關。委員會作出決定：難題都儘可能地以最簡單明瞭的形式呈現。最後，我們還決定了由哪些專家寫下難題的具體陳述。這些專家臨危受命，在極短的時間內完成了高質量的工作。他們寫下的命題以及相關的綜述性短文及時地通過了其他專家的審閱、修改及委員會的最終檢驗。

七個難題如下，順序依照難題英文名稱的字母序排列，括號中所列的是寫下難題之具體陳述的作者姓名：

(1) Birch-Swinnerton-Dyer 猜想 (Andrew Wiles)

(2) Hodge 猜想 (Pierre Deligne)

(3) Navier-Stokes 方程解的存在性與光滑性 (Charles Fefferman)

(4) P/NP 問題 (Stephen Cook)

(5) 龐加萊猜想 (John Milnor)

(6) 黎曼假設 (Enrico Bombieri)

(7) Yang-Mills 規範場存在性與質量間隙 (Arthur Jaffe 和 Edward Witten)

這七個難題中，黎曼假設是唯一一個在“希爾伯特問題”裡就出現過的，已歷經一百多年卻仍然巍然屹立。它在山頂的風景如此令人迷醉，山間的霧靄卻亂人眼眸，人們手執大斧披荊斬棘，卻始終無法找到一條通往山巔的清晰途徑。

需要特別強調的是，這是七個（當時）未解決的重要問題，但並非“最”重要。無論是揭開古老的未解之謎，還是發現全新的研究方向或領域，都無比艱難。由前者所取得的成果較易為當世之人（尤其是數學家們）所敬仰，而後者的成就往往需要經過更多的時間積澱才能被世人所理解和接受，兩者都難能可貴。

設定獎金

關於獲獎的規則細節，以下幾條是原則性的：獲獎者必須證明或證否其中一個難題；解答不能直接提交給克雷數學研究所，需在正式的學術期刊上發表；克雷數學研究所將在解答被髮表兩年之後啟動審查程式；對於合作取得的成果，或是重要的先驗想法，時任董事會將根據科學顧問委員會的建議來決定他們應分享的榮耀。

獎金金額的設定過程則是另一個非常有趣的故事。我的原始想法是設立滾動獎池制：基金會每年向獎池中投入一定量的金額，當一個大獎難題被解決時， 獲獎者們將分享的獎金為

獎金 =（當時的獎池總額）除以（當時剩餘的未解決難題數量+1）

按照這樣的設定，如果一個難題很快就被攻破，它產生的獎金是相對少的。如果一些難題一直懸而未決，獎池將會越滾越大，最後變成超級鉅獎。恰好在2000年春的一份《泰晤士報》中，英國費伯出版社（Faber&Faber）為了提高一本書的關注度，為解答哥德巴赫猜想提供了一百萬美元的獎金。在當時，百萬美元可是相當大的一筆財富。然而，出版商只給這筆大獎設定了兩年的有效期，他們並沒有預備那麼多錢，而是就此獎金向勞合社 (Lloyd's of London) 購買了保險。對一個古老的數學難題而言，兩年的時間如過眼雲煙，該出版商用極低的風險換得了人們的極大關注。在這樣的背景下，我提議為這七個大獎難題預設七百萬美元的總獎金。略微遺憾的是，獎池透過投資逐年遞增的提議被克雷數學研究所的律師駁回了。受限於籌備時間的倉促，我們對獎池問題沒能進一步地協商，這就是七百萬美元大獎的由來。

籌備千禧年大會

在甄選難題和設定獎金的同時，另一項艱鉅的任務是籌備將在巴黎召開的千禧年大會。孔涅教授作為法國方面的聯絡人，聯絡了法蘭西公學院作為大會的東道主。大會被定於2000年5月24日至25日召開，大獎難題的釋出安排在24日下午，而25日則是學術報告會，報告人均為與克雷數學研究所相關的青年學者，包括陶哲軒、Manjul Bhargava, Dennis Gaitsgory等，那時的他們皆未及而立之年。另外，出於保密和出其不意的目的，我們給大會起了一個波瀾不驚的名字——克雷數學研究所第二次年度會議。一般而言，舉辦一個大型國際會議需要提前相當多的時間，以便參與者們提前做好行程規劃。由於籌備開始的時間太晚，我們無可避免地陷入了一些困境：在2000年春夏之間，無論時間怎麼調整，都會與一些其他的數學會議相沖突。比如，二月份時我們曾希望邀請Raoul Bott和Jean-Pierre Serre兩位教授來報告這七個大獎難題，而他們被授予了沃爾夫數學獎，頒獎典禮與千禧年大會的時間是重疊的。另外，由於無法預估參會人員的規模，在大會召開前幾天，孔涅教授決定為每位註冊參會者簽發門票，每張門票上都印有專門的座位號。對於屆時未能進場的觀眾，我們安排了分會場收看直播。孔涅教授以及大洋兩岸諸多賦有奉獻精神的支持者們，投入了極大的工作熱情，最終我們克服了所有困難， 保障了“千禧年大獎”專案的成功實施。

法蘭西公學院院長Gilbert Dagron教授相信 “千禧年大獎難題”將會是科學史上的一項重大事件，他為我們提供了不可或缺的支援（見圖d中信件）。更為重要的是，我們被允許借用他傑出的助手Véronique Lemaître 女士。這位令人驚喜的女士與巴黎地區的科學記者們保持著密切而友好的關係，她為我們安排了各類採訪。孔涅教授在大會前一週接受了《世界報》（Le Monde）的採訪，而我也提前三天接受了美聯社的訪談。在難題釋出的當天早晨，Lemaître女士還召集了媒體釋出會，吸引了三十多位科學記者參加。自然而然地，所有的訊息都被設定了“禁令”，以防在官方釋出之前就遭到曝光。

(d) 法蘭西公學院院長的信件

千禧年大會

法蘭西公學院的瑪格麗特•德•那瓦爾圓形劇場剛落成不久，寬大的舞臺後設置了兩個大型的投影巨幕，環繞著的觀眾座椅則層疊而上，如孔雀開屏般展成一個扇形。5月24日下午2時，全場座無虛席。大會第一項議程是克雷研究獎（Clay Research Award）頒獎儀式，獲獎人為洛朗•拉福格（Laurent Lafforgue）教授，克雷夫人為他頒發了特製的獎盃——一個小型的“8字結”青銅藝術品（見圖f）。接著，在觀眾們驚奇的眼神中，我從講臺後方取出了藏著的第二個獎盃：“正如數學中的對稱性、多重性！我們有兩個獎盃！”第二個獎項被授予了事先並不知情的孔涅教授。拉福格教授因為有關朗蘭茲綱領的工作獲獎，其背後還伴隨著一些軼事。大會之後沒多久，他給我寫信說想退回這一獎項，因為當他在準備龐加萊研究所演講的過程中，發現了證明中的一個嚴重漏洞，因而惶恐不安。我們都給他以鼓勵，並讓安德魯•懷爾斯安慰他，因為懷爾斯教授曾有過類似經歷。正如我們所料，不久後拉福格教授便修補了漏洞，得到了完美的證明。

(f)2000 年時的克雷數學研究所標誌兼克雷研究獎獎盃

頒獎之後，高爾斯（Timothy Gowers）教授作了題為“數學如此重要”（The importance of Mathematics）的主題演講，而阿蒂亞（Michael Atiyah）和泰特（John Tate）兩位教授則逐個介紹了這七個難題（見圖e中海報）。那些令人一頭霧水的專業術語被醞釀成了極為樸實的言語，而難題的來龍去脈如行雲流水一般，成了他們口中淡淡傾吐著的動人故事。午後的時光轉瞬即逝，觀眾們聚精會神，聽得如痴如醉（見圖g）。隨著現場播放的錄音中響起希爾伯特低沉而充滿張力的德語，全場報以熱烈的掌聲，這是他在1930年發表的退休演說。至此，尚沒有任何人提起過攻破這七個難題是有獎金的。到最後，我邀請大家享用招待會的香檳和糕點，並輕描淡寫地說：“順便提一句，如果今晚你恰好解答了其中的一個難題，請向期刊投稿，我們將在兩年後頒獎，每個難題的獎金是：一百——萬——美元！”剎那間，驚呼聲、口哨聲、擊掌聲，震天撼地！議論聲紛呈而起，久久不曾散去。

(e) 大會海報 (g) 大會現場

大會期間還有一些插曲，包括銅管樂團優美的演奏，以及克雷先生、Gilbert Dagron教授和一名政府要員的講話，而大會之後安排了招待會和晚宴。在晚宴上，激動的海拉曼•弗格森先生向大家闡釋著有關“8字結雕塑” 的靈感源泉。“這是一個鞍點。”他指著右手的虎口，旋轉著的手掌划起蜜蜂的8字舞，“看！就如這般，多麼神奇的結構啊！”每位晚宴的客人都收到一枚晶瑩剔透的立方體藝術品（見圖i），邊長6.5釐米，它似琥珀一般封存了一本“千禧年大獎難題”的小冊子，如此典雅精緻的小禮物賦予了這個巴黎之夜更深的詩情畫意與驚喜。

(h) 錄影集 (i) 立方體紀念品

“千禧年大獎難題”的影響

“千禧年大獎難題”公佈後的即時反應異常熱烈。招待會結束後，我們乘坐大巴車前往晚宴，在車上，Véronique Lemaître女士給我們分發了《世界報》剛剛發行的報紙。該報社每天傍晚刊發次日的報紙，因此日期顯示為5月25日。在這份報紙中，科學記者Jean-François Augereau寫下了四篇關於“千禧年大獎難題”的不同文章。其中，首頁右上方（見圖j）刊登了一張包含克雷數學研究所董事會和科學顧問委員會的照片（見圖k），這是報社自己在網上找到的， 攝於CMI落成典禮的當天。由美聯社的科學記者 Jocelyn Gecker 撰寫的長文則刊發在25日世界各地的多家報紙上。這些報道引申出後續成百上千的故事，許多電視網路媒體都爭相跟進。

(j) 2000 年 5 月 25 日《世界報》首頁

(k) 克雷數學研究所董事會和科學顧問委員會合影

第二排左起 ：Alain Connes, Edward Witten, Andrew Wiles, Arthur Jaffe

第一排左起 ：Landon T. Clay, Lavinia D. Clay, Finn M.W. Caspersen

哈佛大學本科生Kelvin Liao當時在克雷數學研究所做兼職，憑藉著電腦技術和藝術兩方面都極高的天賦，他設計了克雷數學研究所網站的前三個版本。當大會在法國巴黎公佈“千禧年大獎難題”的同一時刻，他在美國馬薩諸塞州上線了克雷數學研究所網頁的第二版，同時貼出了“千禧年大獎難題”的官方公告。公眾的反響遠遠超出了我們的預期，公告剛一發布，克雷數學研究所網站便因為過載的流量而崩潰了。我聯絡了美國數學會的執行董事John Ewing先生，他決定在美國數學會的伺服器上建立克雷數學研究所網站的映象。要知道美國數學會網站除了釋出數學新聞之外，還承載了大量的電子書籍和期刊資料，併為全世界範圍的各類數學事務提供服務，它的容量和頻寬遠勝克雷數學研究所使用的商用伺服器。兩天後我返回美國，Ewing先生立馬給我打來電話，他憂心忡忡：“美國數學會網站要崩潰了！我們絕不能失去美國數學會的雜誌和書店！”“能否再堅持一天？”我也萬般無奈，“可能馬上就趨於穩定了？” 幸運的是，美國數學會的伺服器頂住了衝擊，經過大約一週的時間，網路點選量趨於平穩。後來，我透過麻省理工學院的工程學教授Charles Leiserson聯絡了阿卡邁科技公司（Akamai Tech），拯救了這一危機。

經過成千上萬次報紙、雜誌、電視的曝光，數學受到了各界人士的廣泛關注。比如在一檔晨間電視臺的優質欄目中，ABC電視臺的新聞臺柱之一Chuck Gibson和麻省理工的Michael Sipser教授一起給大家講述了P/NP問題。有許多年輕的學生說他們對數學倍感興趣，並且想了解這些大獎難題。而“千禧年大獎難題”產生的長遠影響之一是：大量相關的數學書籍問世，其中涉及黎曼假設和龐加萊猜想的舉不勝舉。一些人著迷於嘗試解決其中一個難題，然而贏得百萬美元的獎金並不容易。另外，正如之前所說，解答著名的古老問題只是數學研究的一個方面，探究未知數學的新領域或探尋未來數學的新視角也同等重要。

七個大獎難題之一——龐加萊猜想——如今已被完全解決，這是一件在數學界耳熟能詳的傳說。在2002和2003年，佩雷爾曼（Grigori Perelman）博士在預印本網站張貼了三篇論文宣稱解決了龐加萊猜想的推廣形式——瑟斯頓猜想。2003年在紐約州立大學石溪分校，我曾與他聊了一整天，這一過程令人陶醉。我告訴了他克雷數學研究所獎金的事，而他對此僅有的評論是：“金錢很危險！”經過數個數學研究團隊的補充和驗證，到2006年時數學界已認可佩雷爾曼博士的工作無顯著漏洞。這時佩雷爾曼博士不僅放棄了百萬美元的獎金，還拒絕了包括菲爾茲獎在內的所有獎項。他甚至辭去了斯捷克洛夫數學研究所的工作，與母親一起過著貧困的生活。在2008年，我再次嘗試聯絡他，並沒有成功。聽說他最大的人生樂趣是聽音樂，並與音樂家們交往。

格里戈裡 • 佩雷爾曼博士

一顆耀眼的明星就這樣藏匿起了自己的光芒，大隱隱於寰宇之間。而下一段傳奇的主人公，會不會是正在閱讀此文的你呢？故事還遠沒有結束，或許只是剛剛開始。

本文所敘述的往事以第一作者的演講和紀實報告為基礎，由第二作者進行了少許演繹，基本都保持了事件的原貌。文中的第一人稱“我”指代第一作者。

致謝 ：由衷感謝任雲翔博士，他為修繕及翻譯本文提供了不可或缺的幫助。亦特別感謝張睿燕女士，她幫助作者們尋找到有關《世界報》的重要史料。本文由Templeton Religion Trust (TRT 0159) 和國家自然科學基金 (No. 11701549) 部分資助。

作者簡介

Arthur Michael Jaffe

• 數學物理學家

• 哈佛大學教授

• 美國國家科學院士

曾任美國數學會會長及哈佛大學數學系主任，克雷數學研究所的倡議者和創始所長。

薛博卿

從上海交通大學獲得博士學位，現任教於上海科技大學，從事數論等方面的研究。

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