歐幾里得127、證明思路：設出滿足條件最小量，找到更小值，得出矛盾
2017年3月30日，網友發表名為《如何證明存在一種不能表示為兩個整數之比的數？》的文章。
文章內容：
…
有發現上面的代數證明和幾何證明之間的共同點嗎？它們都是這樣的一個思路：假設我已經是滿足這個性質的最小的那個了，那麼我就可以用一種方法找出更小的一個來，讓你無限迴圈下去。數目越來越小，永無止境。嚴格的數學證明中你或許會看到這樣一句話：“不失一般性，設n為最小的滿足……”
…上面的代數證明：見《歐幾里得116》…
…上面的幾何證明：見《歐幾里得124》…
…性、質、性質：見《歐幾里得37》…
…嚴、格、嚴格，不、失、不失，一、般、一般，一般性，不失一般性：見《歐幾里得125、126》…
這種證明方法應用很廣。比如，證明3^n不能表示為兩個正整數的平方和。
…^：乘方…
…3^n：3的n次方…
假設存在一個最小的n使得x^2+y^2=3^n（x的平方+y的平方=3的n次方），那麼x^2+y^2可以被3整除，於是x和y也應該能被3整除（一個正整數的平方除以3，要麼除盡，要麼餘1）。
…證明：
∵ x^2+y^2可以被3整除
∴（x^2+y^2）/3=某整數
∴（x^2+y^2）/3=（x^2）/3+（y^2）/3=某整數
∴ x^2/3=某整數，x^2/3=某整數
即x·x/3=某整數，y·y/3=某整數
∴ x有質因數3，y有質因數3
即x和y能被3整除…
假如x=3p，y=3q，那麼（3p）^2+（3q）^2=3^n，即9（p^2+q^2）=3^n，那麼：p^2+q^2=3^（n-2）。這和n最小的假設矛盾。
…矛、盾、矛盾：見《歐幾里得72》…
換句話說，你永遠找不到最小的，你必須一直遞迴下去。
…遞、歸、遞迴：見《歐幾里得124》…
接下來的兩個證明才是我佩服的，真正的Very Simple & Very Tricky。
…Very（英語）：adv.（副詞）很，非常…
…Simple（英語）：adj.（形容詞）簡單的；樸素的；易於理解的；易做的；簡樸的；不加裝飾的；（用在名詞前表示強調）純粹的，完全的，不折不扣的…
…Very Simple：非常簡單…
＆這個符號叫什麼？——網友提問
是指邏輯上表示兩者屬於缺一不可的關係，還表示一個人和另外一個人之意，與and同義。如A&B，表示A與B，A和B，A×B。
字元&的最早歷史可以追溯到公元1世紀，最早是拉丁語et （意為and）的連寫。最早的&是e和t的合字，後來經過一些演變，形成了固定的合字，繼而演變為符號。這個符號和古代一些西文字型的et連寫幾乎一樣。
…Tricky（英語）：adj.（形容詞）狡猾的；難辦的；難對付的；詭計多端的…
下面的這個證明曾經是我最喜歡的關於無理數的存在性的證明，它實在是太神奇了。
…證、明、證明：見《歐幾里得6》…
假設（p/q）^2=2，那麼p^2=2q^2。我們將要證明，一個數的平方等於另一個數的平方的兩倍是根本不可能的。
如果對一個平方數分解質因數，它必然有偶數個因子（x^2的所有質因子就是把x的質因子複製成兩份）。於是，p^2有偶數個質因子，q^2有偶數個質因子，2q^2有奇數個質因子。
等號左邊的數有偶數個質因子，等號右邊的數有奇數個質因子，大家都知道這是不可能的，因為同一個數只有一種分解質因數的方法（唯一分解定理）。
…方、法、方法：見《歐幾里得2、3》…
…定、理、定理：見《歐幾里得2》…
這個證明還有一種更加神奇的變化。p^2和2q^2的質因子中，因子2的個數肯定是一奇一偶。那麼它們轉化成二進位制後，末尾0的個數肯定也是一奇一偶。因此，這兩個數不可能相等。
…哲牛：哲學方面很牛的人…
這個證明雖然與前面的證明有些類似，但它的簡潔性足以讓我打算寫下今天這篇4000字的文章。
…性：1.物質所具有的效能；物質因含有某種成分而產生的性質：黏～。彈～。藥～。鹼～。油～。2.字尾，加在名詞、動詞或形容詞之後構成抽象名詞或屬性詞，表示事物的某種性質或效能：黨～。紀律～。創造～。適應～。優越～。普遍～。先天～。流行～…見《歐幾里得10》…
看後我大為折服，這真的叫做the power of simple ideas in mathematics（數學中簡單思想的力量）。
同樣是證明不存在整數p、q，使得p^2=2q^2，這個證明只需要一句話：假如p、q是最小的正整數使得p^2=2q^2，看圖，兩個邊長為q的小正方形放在一個邊長為p的大正方形裡，那麼，圖中深灰色正方形的面積就等於兩個白色正方形面積之和（面積守恆）。於是，我們就找到了具有同樣性質的更小的整數p和q。
仔細體會一下這個“面積守恆”，如果A+B=C，那麼A和B重複計算了的必然是C裡還沒有算過的。很有意思。
“範疇是一種抽象程度最高的命題結構性概念，是哲學及其邏輯系統中最重要、最核心的概念。有大量的具體範疇經過無數次的感知驗證和理知推演，已經成為人類抽象思維成果中具有高度概括性、結構穩定的概念。例如：內涵、外延，合、分，關係（絕對/相對），姿態（獨生態/眾生態），獨生態（主動/被動）、眾生態（自由/專制），自由（自在/互聯），狀況（連續/離散），個性、集性，思維（具體/抽象），等等。
請看下集《歐幾里得128、自、然、自然，現、象、現象，範、疇、範疇，哲學範疇》”
若不知曉歷史，便看不清未來