科學需要實驗．但實驗不能絕對精確．如有數學理論，則全靠推論，就完全正確了。這是科學不能離開數學的原因，許多科學的基本觀念，往往需要數學觀念來表示。——陳省身

希臘人所建立的幾門科學是從柏拉圖時代起才發展出相當內容和定出方向的。

一、數理天文學

球面幾何是為天文學而發展的。幾何實際是宇宙學中的一部分。希臘人認為幾何原理四體現在宇宙的整個結構中的，而空間是宇宙的主要組成部分。因此研究空間本身以及空間中的圖形對於了解宇宙這個較大的目標極為重要。換言之，幾何本身就是一門科學，關於物理空間的科學。

1.歐多克索斯

柏拉圖強調指出對於行星的不規則運動缺乏內在的或統一的理論或解釋。歐多克索斯著手解決柏拉圖所提出的“整理外觀”的問題，建立了第一個比較完整的天文學說。他寫過四本天文書——《鏡Mirror》、《現象Phenomena》、《八年週期Eight-Year Period》和《論速率On Speeds》，但現在只知道其內容的片斷。

從地上看到的日月的運動可以粗略地描述成勻速圓周運動。但它們偏離圓軌道的程度大到足以被人觀測出來因而需要加以解釋。至於從地上所看到的行星運動就更復雜，因在它們運動的任意一圈的過程中，會在短期內倒過來走一段回頭路之後再往前走，而且它們在這些路上的速率也是變化著的。

為了用幾何來說明這些不規則的運動，歐多克索斯提出了如下的方案：任一天體都有三四個以地球為中心的同心球，而各個球都繞一軸轉動。最裡面的一個球是帶著那個天體的，而天體則沿著球的所謂赤道運動，就是說轉軸垂直於運動天體的圓形路徑。不過這最裡面的球在繞軸運轉之時被下一個同心球這樣帶動：設想第一球的兩軸延長而兩端固定在第二個球上，則第二球在繞其軸轉動時就帶動第一球的軸一起轉動。歐多克索斯發現用三個球就足以複製出從地上看到的日、月的運動。對於每個行星就要用第四個球，而這第四個球是帶著第三個球的軸一起旋轉的。每個組合的最外面的球，每24小時內繞一根通過天極的軸旋轉一次。歐多克索斯總共用了27個球。

歐多克索斯的方案在數學上很優美並在許多方面很了不起。用球的組合這個想法本身就很巧妙，而選取球軸、半徑和轉速，使天體的合成運動符合實際觀測資料的工作，則需要在處理曲面和空間曲線（即行星運動路徑）方面有極大的數學技巧。

特別值得指出的是，他的理論是純數學的。他所說的一些球，除了恆星所在的那個天“球”之外，都不是實際觀察到的球，而只是數學的構想。他說有一些力使這些球轉動，但沒有設法講明那是些什麼力。他的理論是徹底符合現代精神的，因為現在科學的目標是作出數學描述，而不是尋求物理的解釋。

歐多克索斯系統有嚴重的缺點，不能說明太陽速度的變化，並對其實際路線的描述也稍有錯誤。他的理論同火星的實際運動根本不相符，同金星運動的符合程度也不能令人滿意。歐多克索斯之所以容忍這樣的缺點，可能是由於他手頭沒有足夠的觀測資料。

2.亞里士多德

亞里士多德並不欣賞純數學的方案。他為設計出讓一球推動另一球旋轉的實際機構，又在歐多克索斯的球之間增加了29個球，使一球的轉動能通過實際接觸推動另一球，而使所有球的動力來自最外面的那個球。他的56個球把這系統搞得如此複雜，使科學家不能置信，雖然它在中世紀有教養的世俗人士中間還是很風行的。

在奧托呂科斯（Autolycus）的著作《論運動的球On the MovingSphere》和《論升和落On Risings and Settings》以及歐幾里得的《現象》之後，下一批天文學鉅著是亞歷山大時期學者寫的。

3.阿利斯塔克

亞歷山大時期的第一個大天文學家是阿利斯塔克，他所著《論日月的體積和距離》是第一個測量日月到地球距離和這些天體相對大小的重大嘗試。他沒有三角知識也沒有π值，但把歐幾里得的幾何用得很得法。

他知道月光是反射光。當恰好半個月球被照亮時，在地球上的觀察者可測出該處的角，阿里斯塔克測出的角是87度（準確值是89°52′），因此他估出太陽離地球與月球離地球的距離之比在18到20之間（正確值是346）。

求得了相對距離之後，阿利斯塔克就通過從地上看到的日輪和月輪的大小測定它們的相對大小。他得出的結論是太陽比月球大7千倍（正確值是6千4百萬倍）。他又求得太陽直徑和地球直徑之比在19/3與43/6之間（正確值約為109）。

阿利斯塔克第一個提出日心說，恆星是固定的，它們看上去好像在轉動，實際上那是地球自轉的結果。月球是繞地球轉動的。

但日心說不被當時的人接受，原因：其一，照亞里士多德的說法，重物趨向宇宙中心。只要你承認地球是宇宙的中心，這一原理就可用來說明物體落向地面的運動。但若地球也在運動，那麼落體就會掉在後面。托勒玫曾用這個論點來反對阿利斯塔克，後人也拿它來反對哥白尼。托勒玫還說運動的地球會把天上的雲拋在後頭。其次，亞里士多德的力學需要有一種力來使地球上的東西保持運動，而又看不出有什麼力。但我們不知道阿利斯塔克是怎樣回答這些論點的。

另一個反對阿利斯塔克的論點是：如果地球在動，那它同恆星的距離就會變，而看起來卻沒有變。對此阿利斯塔克給予了正確的反駁：恆星天球的半徑是如此之大，以至地球軌道相形之下小得微不足道。

阿利斯塔克的日心說之所以被許多人擯棄，是因為他把地上的朽物與天體的不朽之物視為等同，而且行星也不是繞日作圓周運動。日後哥白尼改進了阿利斯塔克的思想，但當時日心說對希臘人來說太激進了。

4.阿波羅尼奧斯

定量的數理天文學的奠基人是阿波羅尼奧斯。人們稱他為厄潑色隆（希臘字母ε的讀音），因ε這個記號常被用來表示月球，而阿波羅尼奧斯的大部分天文學是研究月球運動的。

希臘人在歐多克索斯和阿波羅尼奧斯所處時代之間搞出一套基本的天文方案，即本輪（epicycle）和均輪（deferent）的方案。一行星P在中心為S的一個圓周上作勻速運動，而S本身則在以地球E為中心的一個圓周上作勻速運動。S所沿著運動的圓叫均輪，P所沿著運動的圓叫本輪。對某些行星來說，點S就是太陽，但在其他情形下則只不過是數學上假設的一個點。P與S的運動方向可能相符，也可能相反。太陽和月球的情況就屬於後一種。托勒玫把行星在軌道上停下來並開始逆行的點的確定特別歸功於阿波羅尼奧斯。

5、希帕恰斯和托勒密

希臘天文學的頂點是希帕恰斯和托勒密的工作。希帕恰斯沿襲了均輪和本輪的這一套方案，並將其應用於當時所知的五大行星以及日月和恆星的運動。希帕恰斯在羅得斯觀象臺工作35年之後，並應用巴比倫人的觀測資料，搞出了本輪運動理論的細節。他通過適當選取本輪和均輪的半徑以及天體在本輪上的和本輪圓心在均輪上的運動速度，使他能把運動的描述加以改進。對太陽和月球的運動的描述他處理得很成功，但對行星的運動只能獲得部分成功。自希帕恰斯時代之後，月蝕的時間能準確預報到一兩個小時之內，但對日蝕的預報卻不那麼準。這一理論也可用以說明四季的來歷。

希帕恰斯的獨特貢獻是發現了歲差（precession of the equinoxes）。為說明這一現象，設地球的旋轉軸遠及恆星天球。它與恆星天球的交點每隔26000年轉動一圈。換言之，地軸相對於恆星的方向是不斷變化的，而且這一變化是週期性的。它在任一時候所指向的那個星叫北極星。上述那個圓圈的直徑在地球上的張角是45度。

希帕恰斯還在天文學上作出了其他許多貢獻，如觀測儀器的製作、黃道角的測定、月球運動不規則性的測量、太陽年日數的改進（他測到365天5小時55分12秒——比近代數字約長6.5分）以及大約一千個恆星星表的編制等。他求得月地距離與地球半徑之比為67.74，而現代的數值是60.3。他算出月球半徑是地球半徑的1/3，而現代的數字是27/100。

托勒密推廣希帕恰斯的工作。他在《至大論》裡論述的那個推廣了的理論，把週轉圓和均輪這一套地心說理論作了完整闡釋，故後人稱之為托勒密理論。

為使這套幾何說法符合觀察資料，托勒密對週轉圓上的運動加上一種變動，叫做均勻平化運動（uniform equant motion）。行星繞中心為Q的一週轉圓運動，而Q沿以C為圓心的圓周運動，不過這裡的C不是地球而是稍偏離一點。為確定Q的速度，他引入一點R使EC=CR，並使∠QRT勻速增大。這樣Q就以勻角速度運動，但不是以勻線速度運動。

希臘天文學家所採取的方法和所獲得的理解是有徹底現代精神的。希帕恰斯和托勒密都親自作觀測。事實上希帕恰斯並不信賴古代埃及人和（巴比倫）加爾迪亞人的觀測資料而重新進行觀測。古典時代和亞歷山大時代的天文學家不僅提出理論，並且也充分認識到這些理論並非真正的設計方案，而只不過是能符合觀測資料的一種描述。托勒密在《至大論》第八篇第2章末段說，天文學應力求使數學模型最為簡單。他們並不尋求關於運動的物理解釋。托勒密在《至大論》第九篇中說：“總之，一般說來第一性原理的終因若不是無關緊要便是很難說明其本質的。”不過他自己的數學模型以後卻被基督教人士視為隻字不可改的真理。

托勒密的理論提供了第一個相當完整的證據，說明自然是一致的而且具有不變的規律。在整個希臘時期沒有任何一部著作能像《至大論》那樣對宇宙的看法有如此深遠的影響，並且除了歐幾里得的《原本》之外，沒有任何別的著作能獲得這一毋庸置疑的威信。

幾乎每一位希臘數學家，包括阿基米德在內，都研究過天文學。希臘天文學是高明而又廣博的，並且應用了大量的數學。

二、地理學

地理學也是奠基於古希臘。雖然有少數幾個古典時代的希臘人如阿那克西曼德和米利都的赫卡託伊斯（Hecataeus，死於公元前約475年）曾繪製了當時所知地面的地圖，但到了亞歷山大時期地理學才有了大的進展。由於希臘世界的範圍擴大了，更促使希臘人去研究地理。

亞歷山大時代的第一個大地理學家是埃拉託斯特尼。此人是亞歷山大圖書館館長、數學家、哲學家、詩人、歷史學家、語言學家、年表學家，並以古代最有學問的人聞名於後世。他曾在雅典柏拉圖的學校裡求過學，後被托勒密三世延請到亞歷山大。

埃拉託斯特尼最出名的工作是計算了地球（大圓）的周長。在賽伊尼（Syene）即現在叫阿斯旺的那個地方，夏至那天中午的太陽幾乎正在天頂，這是從日光直射進該處一井內而得到證明的。

亞歷山大在賽伊尼之北而幾乎（1度之內）在同一子午線上，其天頂方向（圖中的OB）與太陽方向（圖中的AD）的夾角測得為360度的1/50。這說明SA弧是地球周長的1/50。據此埃拉託斯特尼計算地球周長為24662英里。這個結果比以前一切估算的結果精確得多。

埃拉託斯特尼寫過《地理學Geography》一書，其中載入了他所作測量和計算的方法和結果。他還在書中說明了地表變化的性質和原因。他還繪製過世界地圖。

科學方法繪製地圖成為當時地理工作的一部分。希帕恰斯發明了正交投射法，用無窮遠處射來的“光線”把地球投射到一個平面上。我們看到的月球實際上就是它的正交投射圖。他用這個方法就可把一部分地面畫在一個平面上。

托勒密在他的《平球法Planisphaerium》中用了球極平面投影法，從O作一直線通過地球上一點P延長到赤道平面或另一極處的切平面。這樣就把球面上的點對映到一個平面上。子午線和緯線是垂直的。球面上的圓在圖面上還是圓，但面積變了。托勒密自己又發明了一種錐面投影法，就是把地面上一塊區域從地心投射到一個相切的錐面上。

托勒密在包含八篇的《地理學》（Geographia）中講述了繪製地圖的方法，可說是第一本地圖集和地名辭典。它給出了地球上8000處地方的經緯度，在好幾百年間是一本標準的參考書。

三、力學

希臘人開創了力學。

1.亞里士多德

亞里士多德在他的《物理學Physics》中編輯了一套運動的理論，成為希臘力學的最高成就。他的力學是從一些理性的似乎是不言自明的原理出發講述的，但這些原理僅僅得自觀察或略經實驗核證。

按亞里士多德的說法，運動有兩類，一類是天然的，另一類是激發的或人為的。天體只有天然運動——圓周運動。而地上的東西能有天然運動是因為每種物體在宇宙中有其平衡於其它物體或獲得靜止的自然位置。重物以宇宙中心即地心為自然位置。輕物（如氣體）的自然位置在天上。當物體趨向它的自然位置時就引起天然運動。激發運動則是由圓周運動和直線運動組成。

運動中的任一物體都受到力和阻力。在天然運動情況下，力就是物的重量，阻力則來自物運動所經過的媒質。在激發運動情況下，力來自人的手或某種機構，阻力則來自物的重量。沒有力就沒有運動，沒有阻力運動就會一下子完成。任何運動速度取決於力和阻力。

由於天然運動中的阻力來自媒質，在真空中的速度將為無窮大，因此真空是不可能有的。物體之所以隨著其接近天然位置為增大速度，是因為物體運動得更加歡樂。但這同速度取決於固定重量的說法不一致。

2.阿基米德

希臘最大的數學物理學家是阿基米德。任何別的希臘學者都沒有像他那樣把幾何與力學結合得如此緊密，並像他那樣巧妙地善用幾何論點來作證明。

阿基米德在力學方面寫過《論平板的重心The Centers of Gravity of Planes》[，共含兩篇。他開頭提出關於槓桿和重心的一些公設，例如：

1）（離開槓杆支點）等距離的相等重量處於平衡，不等距離處的相等重量不平衡而朝著距離較遠處的那個重量傾斜。

2）若在（離開槓杆支點）某兩個距離處的兩個重量處於平衡，而在其中一重量上加一物，它們就不再平衡，朝著加物的那個重量傾斜。

5）面積不同而相似的圖形，其重心也在相似的位置......

7）凡周邊凹向同側的任一圖形，其重心必在圖形內部。

他在這些公設之後列舉了一些命題，其中有些證明要依據其失傳著作《論槓桿》中的結果：

命題4. 若兩個相等重量的重心不在同一個地方，則它們合在一起的重心乃是其重心連線的中點。

命題6與7. 兩個量，不管其可公度與否，其到平衡處的距離與該兩量成反比。

命題10. 任一平行四邊形的重心是其對角線的交點。

命題14. 任一三角形的重心，是其任兩頂點與其對邊中心所作兩根連線的交點。

第二篇論述一拋物線弓形的重心。其主要的定理有：

命題4. 為一直線所割出的任一拋物線弓形的重心位於該弓形的直徑上。

直徑是AO，這裡O是BD的中點，而AO平行於拋物線的軸。證明要利用他在《拋物線的求積》一書中的結果。

命題8. 若AO是拋物線弓形的直徑，G是它的重心，則AG = (3 /2) GO。

求重心的工作在亞歷山大時期的許多書裡都有。例如海倫的《力學Mechanica》和帕普斯的《數學彙編》的第八篇。

流體靜力學是阿基米德建立的。在《論浮體》一書中，論述了水施於浸入其中物體的壓力。他提出兩個公設。第一個是說液體任一部分施於液體的壓力是朝下的。第二個公設說液體對置於其中一物的壓力是沿著通過該物體重心的一根垂線向上的。他在第一篇中證明的一些定理是：

命題2. 任一靜止液體的表面是中心在地心處的一個球的球面。

命題3. 凡與等體積液體等重的固體，若置於液體內，必將浸沒到使其表面不致露出液麵，但不會浸得更深。

命題5. 若將輕於液體的任一固體置於液體裡，它將下沉到這樣的程度，使該固體【在空氣中】的重量等於其推開的液體的重量。

命題7. 若將一重於液體之物置於液內，它將下沉到液底，且若在液體內衡其重量，則其輕於原重之數等於其所排液體的重量。

最後這個命題一般認為是阿基米德據以確定那個王冠成分的。阿基米德確實找出金冠裡摻了銀。

為了解阿基米德著作中所處理的問題在數學上和物理上的複雜程度，摘錄第二篇中一個簡單的命題。

命題2. 有一旋轉拋物體的正截段，其軸不超過3p/4（p是生成拋物線的正焦弦或主參量），其比重小於液體。若將它浸入液體中使它的軸與垂直方向成任一角但不讓截段的底接觸水面，則該拋物體截段不會停留在那個位置，而要回復到使它的軸處於垂直方向的位置。

阿基米德處理的是物體在水裡的穩定性問題。這些問題顯然是對船舶在水裡受傾側後所出現情況的理想化描述。

四、光學

除天文學外，數學裡搞得最經久最成功的要算是光學了。光學是希臘人創立的。從畢達哥拉斯以後的幾乎所有希臘哲學家都探討過光的性質、視像和光色。數學方面的第一項成就是西西里島阿格里根（Agrigentum）的恩培多克勒先驗地提出的光以有限速度行進的說法。

光學方面的第一批系統性的著作是歐幾里得的《光學》和《鏡面反射》。《光學》研究視像問題以及怎樣從視像確定物體的大小。歐幾里得先擺出定義（其實是公設），他的第一個定義說人之所以能看到東西（產生視象），是因為從眼睛裡發出的光循直線行進照射到所見的物體上的緣故。第二個定義說視線成一錐體，其頂點在眼睛處，其底面在所見物體的最遠端。定義4說兩物中若一物所定視線錐的頂角較大，該物看起來就顯得較大些。

然後在命題8中歐幾里得證明兩個相等而平行的物體（下圖中的AB和CD）的視觀大小並不和它們到眼睛的距離成比例。命題23到27證明眼睛看球實際所見的不到球的一半，而所見部分的外廓是個圓。命題32和37指出看一個圓，只有當眼睛在圓平面圓心處的垂線上時，所見的才是一個圓。歐幾里得又指出怎樣從平面鏡裡所見的映象來算出實物的大小。書裡共有58個命題。

《鏡面反射》描述從平面鏡、凹面鏡和凸面鏡反射出來的光的習性以及它對我們視覺的影響。定理1講反射律，這是幾何光學的基本定律（下圖）。歐幾里得還證明了光線照射在凹或凸鏡面上的規律，他是以光線照射鏡面處的切平面代替鏡面來證明的。

海倫在他講凹鏡、凸鏡和複合反射鏡的《鏡面反射》一書中，從反射律推出了一個重要的結論，即光沿最短路徑傳播。（注：把實際路徑理解為在限制條件下的極值問題，這是一個非常重要的思路，變分法的源頭。往前一步，就可以推出光的折射定律。再往前一步，理論力學也可以這樣理解，即最小作用量原理。）

有不少著作是論述光線在各種形狀鏡面上的反射的。其中有阿基米德所著而現已失傳的《鏡面反射Catoptrica》以及狄奧克萊斯和阿波羅尼奧斯所寫書名同為《論點火鏡On Burning-Mirrors》的兩部著作。點火鏡是呈球面形、旋轉拋物面形和旋轉橢球面的凹面鏡，它們可以把平行光聚集在焦點。據說阿基米德就是利用拋物鏡面的這一性質把日光集中到羅馬船上使它們起火的。

光的折射現象曾為亞歷山大時期的希臘人所研究。托勒密注意到來自太陽和星星的光線受大氣折射的影響，並打算（沒有取得成功）找出光線的折射規律。他所著關於鏡面和折射的書《光學Optics》流傳到今天。

五、占星術

在早期文明社會中是把占星術當作科學的。巴比倫人的占星術只是從觀察行星的位置來推出關於君王和國家大事的結論。他們不搞計算，人出生時刻的星象是不起作用的。但希臘或亞歷山大的占星術是牽涉到個人的，它根據所算出的黃道帶裡的日、月和五大行星在出生時刻的位置，可知其人的未來和命運。

托勒玫寫了一本出名的書，叫《四書Quadripartite或Tetrabiblos》或《論星辰影響的四書Four Books Concerning the Influence of the Stars》，其中指出了如何根據星象來預卜未來的規則。這書被人使用了一千年。

占星術在科學史上的意義在於其促進了天文學的研究，在希臘、印度、阿拉伯和中世紀的歐洲都是如此。占星術培育了天文正如鍊金術培育了化學。奇怪的是，人們把占星術預言的錯誤歸咎於天文計算的錯誤，而並不歸咎於占星術說法的不可靠。

在亞歷山大希臘人那裡數學開始被應用於醫學，特別是通過占星術的媒介。有的醫生就叫醫道數學家，是根據占星術的徵象來決定醫療方法的。古希臘的大醫生蓋倫堅信占星術，這也許情有可原，因最聞名的天文學家托勒玫也信占星術。數學和醫藥的這一聯絡在中世紀變得更加密切了。

柏拉圖寫的對話《愛好者Philebus》說，每門科學只有當它含有數學時才成其為科學。這一原則從希臘人所取得的重大成就得到最有力的支援。此外，希臘人的研究提供了充分證據說明自然是有其數學設計的。他們對自然的見解以及他們開創用數學方法研究自然，在希臘時代及其後各個世紀激起了數學的創造發明。