09什麼是引力？

引力，又叫萬有引力。

萬有的意思很明顯，就是說這種力是普遍存在的，任何兩個有質量的物體之間都有這樣一種力，誰也跑不掉（在牛頓力學裡先這樣理解，以後學了廣義相對論，你會對引力有更加深刻的認識）。

這個意思很直白，就是說萬物之間都會相互吸引。

你可能會疑惑：不會吧，萬物之間都有吸引力？我和同學、課桌、教室之間也有？為什麼從來沒感覺到？

為什麼引力小呢？當然是因為質量小。你的體重在引力眼裡不值一提，想感受引力，就得選個質量大的。

比如，你可以選擇教學樓，你和一棟樓之間的引力就比兩個人之間的大多了（想想教學樓的質量是你同學的多少倍）。不過，這個引力還是太小，依然感覺不到。

那再大一點，選擇喜馬拉雅山。很可惜，還是太小。

你可能要發飆了，我和這麼大一座山之間的引力還小？你怕不是來忽悠我的吧。還嫌質量小，那我把整個地球選給你好不好？

好，那我就不客氣地簽收了！這次你選對了。

引力雖然是萬有的，但是它非常微弱，我們需要地球這個級別的物體才能直觀感受到它的存在。

地球和我們之間的引力深深影響著每個人的生活，它給了我們安全感，也給了我們恐懼。它讓地球不會分崩離析，也俘獲了月亮的心……

你可以想一想，為什麼你每次跳起來之後都會落回地面？

你可能覺得這理所當然，或者從來就沒想過，似乎“每個物體都會往下落”是天經地義的事情（就像亞里士多德說的“XX天然有向地球中心運動的趨勢”一樣）。

但是，你想想慣性定律，萬物都是“懶”的，人也一樣。

如果沒有外力影響，物體會一直保持原來的運動狀態。原來是靜止的，後面就一直靜止；原來有一個速度，後面就一直以這個速度勻速直線運動。

我們跳起來時，速度是指向天上的，跳起來後慢慢減速，到了最高點速度為0，然後開始反向加速下落。

整個過程中，速度的大小和方向都發生了明顯的變化，這就表明跳躍時肯定受到了其它外力的影響，這個力讓我們的速度發生了改變。

但是，我們跳起來後明明沒有跟任何東西接觸，那這能是什麼力呢？答案是引力，是我們和地球之間的萬有引力。

任何兩個物體之間都有引力，地球和地面物體之間當然也是。你可以把地球想象成一個巨大的吸鐵石，它對地面上的任何東西都有強大的吸引力，所以高處的物體總會往低處走。

於是，你跳起來，又被吸回來；蘋果會被吸到地面，高處的水被吸到低處；你提著一袋東西覺得重，那是因為地球想把這袋東西吸過去，但你“死死拽著”不放，你在跟地球拔河；月亮一直圍著地球轉，也是因為被地球吸住了，想跑跑不掉……

這些，都是地球引力乾的，它吸引著一切，感知極強。

因為我們生活在地球，從小就感受著來自地球的引力，所以早已見怪不怪。

但是，如果哪天你到了月球，因為月球的引力比地球小很多，你可能輕鬆一跳就是兩層樓高；如果在外太空，可能輕輕一跳，就永遠下不來了。

長尾君當年學習引力時，還解開了一個困惑我多年的謎題，內心倍感舒暢，這裡也分享一下。

從小我就知道人類生活在地球表面，那問題就來了：我住在地球“上面”，頭朝上，那住在地球另一面的人豈不是腳朝上？為什麼他們沒有掉下去？

直到學了萬有引力，我才恍然大悟：原來大家都是被地球吸住的！

根本就沒有什麼絕對的上下，也不是上面的東西天生就要往下落，而是大家都被地球吸得往地心方向跑而已。

好，到這裡，相信大家對引力就有一個概念了。

但這還遠遠不夠，雖然我知道蘋果下落、月亮圍著地球轉都是引力造成的，那引力具體是怎麼影響它們的呢？

這個地球引力到底會使蘋果以多大的加速度下落？1秒後蘋果的速度是多大，2秒後會下落幾米？它會使月亮以多大的週期圍著地球轉？

如果不把這些細節搞清楚，我們也不好意思說弄懂了它們的運動情況。

說白了，我們必須能定量算出兩個物體間引力的大小，然後才能用牛頓第二定律F=ma算出具體的加速度，進而分析物體的運動細節。

10萬有引力定律

引力的規律要如何找呢？

前面說了，引力非常微弱，地面物體之間的引力非常小。想透過觀測它們來總結引力的規律，怕是行不通。

所以，我們把目光轉向了天上。月亮圍著地球轉，地球和其它行星圍著太陽轉，一些大的行星（比如木星和土星）還有一堆衛星圍著它們轉，這些肉眼可見的天文現象可都是引力主導的啊。

於是我們夜觀星象，把星體的運動軌跡都記錄下來（一個叫第谷的人做得極好）。然後分析它們的運動軌跡，從中找出一些星體的運動規律（第谷的學生開普勒發現了行星運動的三大定律）。最後根據這些定律，利用數學和物理知識反推出讓星體這樣運動的力應該具有什麼樣的性質。

這一步，很多科學家都在走，但牛頓憑藉他逆天的數學和物理才華（唯一一個同時穩居數學、物理Top3的人），第一個走出了迷宮，給出了描述引力的精確定律，並用它成功解釋了當時一切跟引力相關的運動現象。

這一仗，牛頓大獲成功，這個能精確描述引力的定律，被稱為萬有引力定律。

牛頓是如何得到這個定律的，這裡不細說。我們先來直觀地感受一下，來猜一猜這個定律應該長什麼樣。畢竟它號稱能精確描述萬有引力，我們看看它的描述跟我們的直觀感受是否衝突。

大家知道，任何兩個物體之間都有引力，而且質量越大，引力越大。

那麼，引力就只跟質量有關麼？太陽的質量比地球大得多，為什麼我們沒有被太陽吸走？答案當然是：因為地球距離我們更近。

所謂強龍壓不過地頭蛇，我的地盤我做主，任何勢力都有他的範圍，引力亦然。所以，除了質量，引力還應該跟距離有關。

而且，容易想象，引力跟質量、距離的關係，一定是質量越大，引力越大；距離越大，引力越小。

這不是什麼問題，真正的問題是：它們之間定量的關係到底是怎樣的？我把質量增大到原來的2倍，引力會增大多少？把距離擴大為原來的2倍，引力又會減小多少？

只有把這個關係搞清楚了，才能精確地計算引力，才算搞定了引力。

先來看引力和質量的關係。

假設有兩個1kg的鐵球，它們之間有一定的引力。那麼，如果其中一個鐵球的質量從1kg增加為2kg，你覺得引力會變成多少？是原來的2倍（1×2），3倍（1+2），還是其它什麼的？

理論上來說，應該是2倍，也就是說質量之間應該是乘法關係。

因為我可以把2kg的鐵球看成兩個1kg的鐵球，那每個1kg鐵球的引力就和原來的一樣，新的引力自然就是原來的2倍。

所以，兩個物體之間的引力F應該和這兩個物體的質量m1、m2的乘積成正比。其中任何一個物體的質量增加為原來的多少倍，它們之間的引力就增加為原來的多少倍。

引力和質量的關係好說，真正困難的是和距離的關係。

假設兩個小球相距1米，現在它們之間的距離擴大為2米。那麼，它們之間的引力會減小為原來的多少呢？是原來的1/2，1/4，還是1/8什麼的？

有人說你可以去做實驗啊，看看把兩個小球之間的距離增加一倍以後，它們之間的引力會縮小為原來的幾分之一。

但是，引力的實驗不好做啊。

因為引力非常微弱，地面上兩個物體之間的引力很難測量。而且，引力是萬有的，我們很難遮蔽其它物體對實驗的影響。

引力有顯著作用的地方，還是在天上。開普勒就是從星體運動的軌道資料裡發現了行星運動三大定律，牛頓從這裡打開了思路，最終發現（其實胡克、哈雷等人也發現了）引力跟距離的平方成反比。

也就是說，如果兩個物體之間的距離變為原來的2倍，它們之間的引力就減小為原來的1/4；距離變為3倍，引力就減小為原來的1/9。

其實，平方反比定律在自然界非常常見。

大家想想圓的周長公式C=2πr，周長跟半徑（即半徑的1次方）成正比。圓的面積公式S=πr²，球體的表面積公式S=4πr²，面積跟半徑的平方（2次方）成正比。圓球的體積公式V=4πr³/3，體積跟半徑的立方（3次方）成正比。

發現沒有，周長跟半徑的1次方成正比，面積跟半徑的2次方成正比，體積跟半徑的3次方成正比。

而現實世界是3維的。這就意味著，如果有個東西爆炸了，它釋放出來的能量就會以球面的形式向外擴充套件。

比如，某個爆炸產生的衝擊波1秒鍾傳播1千米，那麼，2秒後這個衝擊波就會向空間各方向傳播2千米，組成一個半徑為2千米的2維球面。

球的表面積公式是S=4πr²，於是，我們可以粗略的認為：爆炸源的能量每時每刻都被平均分給了4πr²個部分，它跟半徑r的平方有關。

同樣，如果我們的空間是4維的，你就會看到各種立方（3次方）反比定律，這也是科學家們檢驗是否存在高維空間的一種辦法。

好，理解了這些，引力跟距離的平方成反比就非常正常了。

於是，我們就知道了：兩個物體之間的引力F跟兩個物體的質量m1、m2成正比，跟它們之間距離r的平方成反比。

寫成公式就是：

這就是大名鼎鼎的萬有引力定律，是牛頓力學裡描述引力的東西。

圖中F表示引力，因為引力是相互的，你吸引我，我也吸引你。而且這種吸引大小相等、方向相反，圖裡就用F1、F2分別表示。

因為質量越大，引力越大，所以分子就是兩個物體質量m1和m2的乘積。因為空間是3維的，所以引力的大小跟距離的平方成反比，於是分母是r²。最外面的G是萬有引力常數，數值大概是6.67×10^-11N·m²/kg²。

有了這個公式，理論上，只要我們知道兩個物體的質量和它們之間的距離，就能算出引力。知道了引力F，根據牛頓第二定律F=ma就能求出物體的加速度a，進而知道物體的運動情況。

於是，一個完美的引力閉環就形成了。

我們終於可以同時掌握上游的引力計算，中游的引力轉加速度以及下游的加速度分析運動了。

既然任督二脈已經打通，內迴圈也轉了起來，要不，我們用牛刀殺一隻雞試試？

11下落的蘋果

蘋果為什麼會下落？當然是因為受到了地球的引力，它是被地球“吸”向地心的。到了這裡，相信大家對這個已經沒啥異議了。

跟以前不同的是，我們現在已經知道了萬有引力定律。

我們不僅知道蘋果下落是由地球引力造成的，還能把這個引力的大小算出來。求出引力後，秉著“力是改變物體運動狀態（速度）”的想法，用牛頓第二定律F=ma把蘋果下落的加速度a算出來，再根據加速度分析蘋果的下落情況。

簡單來說就是三步走：第一，找到讓蘋果下落的力（這裡就是地球和蘋果之間的引力，用萬有引力定律來求）；第二，找到合外力後，用牛頓第二定律F=ma求蘋果的加速度a；第三，利用加速度分析蘋果下落的運動情況。

整個思路是如此的簡單而清晰，我們一步步走。

第一步，找到蘋果和地球之間的引力，這當然要求助於剛剛發現的萬有引力定律：

從定律的形式來看，想知道蘋果和地球之間的引力，就必須知道蘋果的質量、地球的質量以及蘋果與地球之間的距離r（G是個常數，不用管它），我們分別來看一看。

蘋果的質量好說，你的蘋果是半斤還是六兩，稱一稱就知道了。不過，我們這裡並不限定蘋果的質量，大小隨你挑，因為你很快就會發現蘋果的下落情況跟蘋果的質量壓根沒有關係。

這是一個讓人非常吃驚的“巧合”，愛因斯坦就從這裡撕開了通向廣義相對論的一個口子。

小時候我們學過一篇《兩個鐵球同時著地》，說的也是這個事。同時放下一輕一重兩個鐵球，大家原以為重鐵球會先著地，輕鐵球後著地，結果發現它們居然是同時著地的。

所以，蘋果的質量，我們先記作m就好了。

地球的質量也是一個固定的數值，可以去查。因為地球的質量比較大，我們暫且記為大寫的M。

那麼，剩下的就只有蘋果和地球之間的距離r了。

這個距離要怎麼算呢？假設一個蘋果從3米高的樹上掉落，那蘋果和地球的距離是多少呢？是3米，還是地球的半徑加上3米？

如果兩個物體都很小（相對它們的距離很小，可以當作質點），那它們的距離就是這兩點連線的長度，這個好理解。

但是，如果物體很大，大到不能當作一個質點呢？

比如地球，地球上每一塊土壤對蘋果都有吸引力，地球作為一個整體對蘋果的吸引力應該是地球上所有物質對蘋果吸引力的總和。

當然，你可以把地球切成無數小塊塊，利用萬有引力定律算出每一小塊與蘋果之間的引力，再把所有的引力加起來。

但是，這玩意明擺著要用微積分啊，而當時並沒有微積分。

於是，牛頓說你們等我一下，然後跑回去吭哧吭哧地發明了微積分，再回來把問題解決了，一旁的胡克只能乾瞪眼（想了解微積分的中學生可以看我這篇《你也能懂的微積分》）。

這樣，你就知道一個數學厲害的物理學家有多可怕了吧？

牛頓拿起微積分一通計算，發現地球上所有物體對蘋果引力的和，等價於把地球的質量全部集中在地心對蘋果的引力。

也就是說，我們可以直接把蘋果到地心的距離當做蘋果和地球之間的距離r。

地球的半徑R大概是6371千米，蘋果樹高3米，這個樹高在地球半徑面前當然可以忽略。也就是說，蘋果到地球的距離，實際上就等於地球的半徑R。

於是，蘋果的質量m，地球的質量M，蘋果和地球之間的距離（地球的半徑R）就都知道了，代入萬有引力定律就能算出蘋果和地球之間的引力：

到這裡，三步走的第一步，也就是算出讓蘋果下落的地球引力的大小，就正式完成了。

算出了合外力F的大小，接下來就進入第二步，也就是利用牛頓第二定律F=ma計算蘋果下落的加速度a。

這一步太簡單了，把質量m移到左邊，直接讓合外力F除以質量m就能得到蘋果的加速度a。而這個合外力F就是上面的引力，代入化簡一下就有：

得到的加速度a很有意思。你會發現牛頓第二定律F=ma裡蘋果的質量m，剛好跟萬有引力定律裡蘋果的質量m約去了。

於是，蘋果下落的加速度a，最後就只跟地球的質量M，地球的半徑R，以及萬有引力常數G有關，反而跟蘋果自己的質量m無關。

這是什麼意思？

意思就是說，蘋果下落時，不管蘋果的質量是多少，它下落的加速度都一樣，因為這個加速度只跟地球的質量和半徑有關。

加速度一樣，如果蘋果的初始狀態也一樣（比如都是靜止的，初速度為0），那蘋果在下落過程中每一分每一秒增加的速度都會一樣，導致的結果就是兩個蘋果的運動狀態完全一樣。

這下子，你知道為什麼兩個不同質量的蘋果（鐵球）會同時著地了吧？

由於蘋果下落的加速度a只跟地球質量M、地球半徑R以及萬有引力常數G有關，而它們都是確定值。我們把資料代進去，最後發現蘋果下落的加速度大致等於9.8m/s²。

也就是說，蘋果下落時，它的速度會每秒增加9.8m/s。

如果蘋果一開始是靜止的，1秒後它的速度將增加到9.8m/s，2秒後達到9.8×2=19.6m/s，以此類推……

而且，可以想象，這個規律不僅對蘋果適用，對鐵球，對石頭，對羽毛，對地面附近任何只受到引力下落的物體都是適用的，因為這個9.8m/s²只跟地球的半徑和質量有關。

為什麼要一直強調地面附近呢？

因為只有在地面附近，我們才能忽略物體到地面的高度，認為物體到地心的距離等於地球半徑。如果物體飛得太高，到地心的距離不能再用地球半徑（還得加上物體距地面的高度）表示，那加速度就自然不再是9.8m/s²。

另外，因為地面有空氣，任何物體下落時都會受到空氣阻力的影響。所以，如果物體的重力比空氣阻力大很多，比如鐵球、蘋果，那我們就可以忽略空氣阻力，認為下落的加速度還是9.8m/s²。

但是，對於羽毛這種非常輕的物體，重力很小，空氣阻力無法忽略。所以，我們放下羽毛時，就會覺得羽毛沒有蘋果落得快，並不會一秒後加速到9.8m/s。

如果在沒有空氣阻力的地方同時放下羽毛和蘋果，你就會發現它們的下落速度是完全一樣的，如下圖：

這個9.8m/s²是所有物體在地球表面，由於地球引力帶來的加速度，我們稱之為重力加速度，用專門的符號g來表示（以區別於一般的加速度a）。

當然，地球並不是一個絕對球體，它本身也在緩慢自轉。因此，地球表面不同地方（比如赤道和南極）的重力加速度也存在微小差異。不過，一般情況下我們並不用考慮它們，甚至，為了計算方便，題目中一般取重力加速度g為10m/s²。

於是，我們就知道了蘋果在地面大約以10m/s²的加速度下落，然後我們就知道了蘋果下落的一切運動資訊。

比如，如果蘋果從靜止開始下落，1秒後它的速度是10m/s，下落高度是5米（想想為什麼）；2秒後速度是20m/s，下落高度為20米……

我們可以知道蘋果在任意時刻的速度和下落高度，這才叫掌握了蘋果的一切運動情況。

怎麼樣？有了萬有引力定律，我們果然可以從物體的受力情況出發，算出它的加速度，再精確分析它的運動情況。

你告訴我物體如何受力，我果然能告訴你物體如何運動，牛頓誠不我欺也！

12從蘋果到高中物理

到這裡，我們就完成了一個最典型運動過程的分析：一個物體在某種力（重力或者其它力）的作用下開始改變運動狀態，這個改變就體現在它具有一定的加速度a上。而加速度a可以透過牛頓第二定律F=ma得到，然後我們就可以透過加速度分析物體的運動情況了。

基本上，這就是高中物理要學的一切，是高中物理的主幹，也是整個牛頓力學的主幹。

好，如果牛頓力學的核心就是這麼點東西，但你要出題，你要給千萬考生出題。而且，出的題一不能超綱（比如不準用微積分），二還得有區分度，怎麼辦？

你看啊，牛頓力學的核心框架就是透過分析物體的受力來分析物體的運動。於是，牛頓第二定律F=ma就把所有問題都切割成了兩部分：受力部分和運動部分。

那我們出題也就有了一個基本的思路：我可以已知物體的受力情況，讓你求物體的運動情況；或者反過來，已知物體的運動情況，讓你求物體的受力情況。

前面我們分析了蘋果在引力作用下的運動情況，我也可以把這個過程顛倒過來：告訴你蘋果是怎麼運動的，讓你求蘋果的受力情況。

然後，引力的問題基本上就完了。

那麼，如果我還想把問題弄複雜一點，怎麼辦？能怎麼辦，引力玩完了，那就再換一種力唄。

一開始我就跟大家說了，我們目前已知的所有力，歸結起來就是引力、電磁力、強力和弱力。但是，強力和弱力在日常生活中一般感覺不到，高中也不學，先不管。

那麼，引力之外，就只有電磁力了。

13電磁力