zzllrr小樂導讀2021-2-7：本文由近期兩篇相關的英文翻譯構成，介紹了一種由以色列理工學院科研人員研發的數學猜想自動化工具：拉馬努金機器Ramanujan Machine（已在GitHub開源，基於Python），原文（一篇是國外科技小編對原作的簡明科普介紹，一篇是原作者正式論文摘要）分別來自：Science X旗下網站phys.org 2021-2-5，以及世界頂級期刊自然雜誌nature.com開放獲取文章2021-2-3 事實上這篇論文在2019-7就已上傳到arXiv了

一、簡明科普介紹：

利用AI和計算機自動化，Technion（以色列理工學院）的研究人員開發了一種“猜想生成器”，可以建立數學猜想，這些猜想被視為產生數學定理的起點。他們已經使用它來生成許多以前未知的公式。這項研究發表在《自然》雜誌上，由以色列理工學院（Technion）的電氣工程學院（Andrew and Erna Viterbi）的不同系的大學生在助理教授Ido Kaminer的指導下進行。

該專案涉及數學的最基本要素之一——數學常數。數學常數是具有固定值的數字，自然地來自不同領域的數學計算和數學結構。許多數學常數在數學中以及在數學之外的學科（包括生物學，物理學和生態學）中都非常重要。黃金分割比和尤拉數就是這些基本常數的例子。也許最著名的常數是π，它是在遠古時代以圓周為背景進行研究的。如今，π出現在科學的所有分支中的眾多公式中，許多數學愛好者爭奪誰可以記得小數點後的更多數字：3.14159 265358 97932384626433832795028 841971693 9937510582 0974944592 30781640628620 89986280348 253421170 67982148 0865132823 0664709384 4609550582231725 3594081284 811174502841027019385211 05559644622 9489549303820 ⋯

以色列理工學院的研究人員提出並研究了一個新想法：使用計算機演算法自動生成以數學常數公式形式出現的數學猜想。

拉馬努金（Ramanujan）是一位印度數學家，1887年出生，在一個貧窮的家庭中長大，但在英國數學家戈弗雷·哈代（Godfrey Hardy）和約翰·李特爾伍德（John Littlewood）的倡議下，於26歲時設法抵達劍橋。幾年之內，他病倒並返回印度，享年32歲。在他短暫的一生中，他在數學界取得了舉世矚目的成就。拉馬努金罕見的能力之一是憑直覺得到未經驗證的數學公式。因此，Technion研究團隊決定將其演算法命名為拉馬努金機器“ Ramanujan Machine”，因為它透過使用AI和大量計算機自動化來“模仿”直覺來成沒有被證明的猜想。

根據Kaminer教授的說法，“我們的結果令人印象深刻，因為計算機不在乎證明公式是容易還是困難，並且新結果不基於任何先前的數學知識，而僅基於數學常數中的數字。在很大程度上，我們的演算法與拉馬努金本人的工作方式相同，後者提出的結果沒有證據。重要的是要指出，該演算法本身無法證明所發現的猜想——從這一點來說，後續工作需由人類數學家解決。”

由Technion的拉馬努金機器產生的猜想為π，尤拉數（e），Apéry常數（與黎曼Riemann zeta函式有關）和卡特蘭Catalan常數等著名的數學常數提供了新的公式。令人驚訝的是，由Technion研究人員開發的演算法不僅成功地為這些著名的常數建立了已知的公式，而且還發現了一些迄今未知的猜想。研究人員估計，該演算法將能夠大大加快基本常數的數學猜想的產生，並有助於識別這些常數之間的新關係。

如前所述，直到現在，這些猜想都是基於罕見的天才。這就是為什麼在數百年的研究中，只發現了幾十個公式。Technion的拉馬努金機器僅用了幾個小時，就發現了“數學王子”高斯一生工作期間發現的關於π的所有公式，以及數十個高斯不知道的新公式。

研究人員認為，“類似的想法將來可能導致數學各個領域的數學猜想的發展，並以此為數學研究提供有意義的工具。”

研究小組已經啟動了一個網站RamanujanMachine.com，該網站旨在透過提供演算法工具來激發公眾更多地參與數學研究，該演算法工具將可供數學家和廣大公眾使用。甚至在文章發表之前，數百名學生，專家和業餘數學家都已經註冊了該網站。

該研究開始於羅斯柴爾德學者Technion計劃（Rothschild Scholars Technion Program）的一項本科生專案，蓋爾·拉奧尼（Gal Raayoni）和喬治·皮沙（George Pisha）參與其中，並繼續作為與 Shahar Gottlieb，Yoav Harris和Doron Haviv合作的電氣工程學院進行的研究專案的一部分。這也是透過Shahar Gottlieb開發的演算法取得最重大突破的地方，這導致了該文章在自然雜誌（Nature）上的發表。Kaminer教授補充說，迄今為止，拉馬努金機器演算法最有趣的數學發現與隱藏在卡特蘭常數中的新代數結構有關。

該結構是由高中學生Yahel Manor發現的，他作為面向科學青年的Alpha計劃的一分子參加了該專案。Kaminer教授補充說：“行業同事Uri Mendlovic和Yaron Hadad也參與了這項研究，併為構成拉馬努金機器基礎的數學和演算法概念做出了巨大貢獻。必須強調的是，整個專案都是自願的，沒有獲得任何資金，參與者純粹出於科學好奇心而加入了該團隊。”

二、Nature雜誌論文摘要譯文

從抽象數學和幾何學到物理學，生物學和化學，諸如e和π之類的基本數學常數在科學的各個領域都很普遍。然而，幾個世紀以來，與基本常數相關的新數學公式一直很少，而且通常是被偶發地發現。諸如高斯（Gauss）和拉馬努金（Ramanujan）等偉大的數學家通常將這樣的發現視為數學上的獨創或深刻的直覺。

在這裡，我們提出了一種系統的方法，該方法利用演算法來發現基本常數的數學公式，並有助於揭示常數的基本結構。我們稱這種方法為“拉馬努金機器”。我們的演算法可以找到數十個眾所周知的公式以及以前未知的公式，例如π，e，卡特蘭常數的連分數表示以及黎曼Riemann zeta函式的值。我們的演算法發現的一些猜想很容易證明（回顧後），而其他的猜想還沒有得到證明。

我們提出了兩種證明對發現猜想有用的演算法：中間相遇演算法Meet-In-The-Middle (MITM)的變體和針對連分數的遞迴結構量身定製的梯度下降最佳化演算法Gradient Descent (GD)。兩種演算法都基於匹配的數值。因此，他們在不提供證明或不需要先驗基礎數學結構的前提下猜想公式，從而使該方法與自動定理證明是互補的。

當應用於發現尚無數學結構的基本常數的公式時，我們的方法特別有吸引力，因為它會顛倒形式證明中順序邏輯的常規用法。相反，我們的工作為研究提供了不同的概念框架：計算機演算法使用數值資料揭示數學結構，從而試圖取代偉大數學家的數學直覺，併為進一步的數學研究提供了線索。