中國數學再無"饒毅"，科學被腐蝕的時代

黑暗中的光亮

科學究竟是什麼？想要回答這個問題的確不是十分容易的，而且不同的人從不同的角度可以作出不同的回答，從科學的歷史和現狀出發，我們可以作出"科學是什麼"的粗略概括：科學既是一種生產知識的活動，又是由這些活動結果所構成的系統的知識，以及對這種知識的繼續探求、修正和發展，同時它還是各門具體各種科學，如數學、物理學、化學、生物學等等的總稱，

由於科學的重要意義，使各種各樣的人都在談論科學，有的甚至打著科學的招牌，以科學的名義說話，其中有的是正確的，有的雖正確，但不全面，有的根本上是不正確的，甚至純粹是假冒的，不管是前段時間饒毅教授舉報的不了了之，還是最近茅臺集團總工程師入圍中國工程院增選院士名單，都讓科學兩字被無數人貽笑大方，毋庸諱言，數學界或許是如今學術界中水最"清"最"淺"的地方，

當然，在這裡面也存在著利益糾葛，造假，而本篇文章中冒昧用饒毅教授的名字，是想表達我們的態度，同樣也是擔憂，因為隨著老一輩數學家的相繼離去，如今的數學界或中學數學教育界缺少發聲者，也缺少先行者，因為百子計劃，小數君曾和許多老教授談過關於這方面的問題，他們就說過當今中國數學缺少能帶領大家，還有願意往下腰幹實事的人，未來的30年，中國數學如今能走多遠？

下面這篇文章是由我國著名數學家，數理邏輯學家，開創了我國數理邏輯模型論方向的研究並是學術帶頭人的王世強教授所寫，這篇文章中是他對我國科學、學術的發聲，以及幾點簡單的有關數學的認識及感想。

研究科學的目的在於尋求真理，因此，做學問的態度應該十分嚴肅，這是天經地義的事。控制論創始人維納就曾說過："學者的紀律是獻身於追求真理，這包括願意做出這種獻身所要求的那種實際犧牲，例如犧牲金錢或者名譽，在極端的情況下（不是沒有先例的），甚至犧牲個人的安全。然而，這個紀律基本上是內在的，屬於人和科學本身的關係，而不是人對於科學在其中展開的那個外部環境反應"。

這方面的事例是很多的。在《季羨林自傳》中，季羨林先生談到第二次世界大戰期間德國遭受大轟炸時，有兩位老科學家的故事使他印象很深：一位是流體力學家普朗特，在一次英國飛機空襲哥廷根之後，他冒險仔細察看校園的一段短牆，看炸彈引起的氣流是怎樣摧毀它的，並自言自語地說："這真是難得的機會！我的流體力學試驗室裡是無論如何也裝配不起來的"。另一位則是慕尼黑一位地球物理學教授，在一天夜裡，盟軍飛機大舉轟炸該城時，全城震聲沖天，人們紛紛從樓上往樓下防空洞裡跑，惟獨這位老教授從樓下往樓頂快跑，認為這是極其難得的做實驗的機會，全然不顧隨時可能有炸彈掉在他頭上。季羨林先生說，面對這樣抵死忠於科學研究的老學者，他除了肅然起敬之外，無話可說。

在我國，雖然缺少在現代科學方法方面的深厚傳統，但在做學問方面的鄭重態度卻是源遠流長的。古代儒家在其基本經典之一的《大學》中就強調以格物、致知、誠意、正心作為個人修養的先決條件，這是很嚴謹的治學態度。孔子就曾說過："朝聞道，夕死可矣"，這是何等崇高的尋求真理的精神！到了近代，在為了救國救民而向西方尋求各種科學理論的知識分子中，由於親身經受了國家飽受侵略的災難和屈辱，以及受到中學和西學中積極因素的雙重影響，這種鄭重嚴肅的學風就表現得更為明顯。在現代，這種態度嚴肅、積極獻身於國家建設事業的科學家也是很多的。在"兩彈一星"方面做出重大貢獻的多位功勳人士就是我國科學界的突出代表。而在數學方面，除了老一輩的名家們之外，像陳景潤、陸家羲等後起之秀的事蹟也是感人至深的。

但是，時至今日，隨著老一輩知識分子的相繼離去，以及受一些社會風氣的不良影響，在我國部分知識分子中出現了種種不良現象。雖然這也是古已有之，但遠不如當今突出。例如，有些人在學習及科研中避重就輕；有些人為了學位、職稱而片面追求論文數量，不講究質量；有些人在各種競爭中運用不正當手段；有些人為自己的利益而排斥、壓制他人；有些人相互吹捧、拉幫結派；有些人借學術之名大肆揮霍公款；有些人積極鑽營權術，以權謀私；有些人甚至抄襲、剽竊他人研究成果，進而使用陰謀詭計以達到自己的目的，等等。筆者認為，這也是在我國的現代化發展過程中，很值得注意的一個方面。

作為對目前某種學風一個諷刺性的反映，筆者曾看到友人發來的一篇載於《人民日報BBS論壇》上的不完整的網上文章，題為《在中國成為"著名X學家"的十大秘訣》，這裡只對其中的幾段簡略地摘錄如下：

以夷制中法：此法亦稱"洋學位法"，是終南捷徑之一。具體的操作流程是，在中國的大學裡讀本科，將10％功夫搞好功課，將90％時光去考TOFEL、GRE，在字母中煎敖數載之後，終有見雲開天之日，於是意氣風發越洋而去（多半是美國）；在外面，用30％時光重新學英語ABC、用30％的功夫掙口糧，再用30％的功夫學數學，用10％的時光戀愛。不久正果修成，腦袋中裝滿"方程"和"模型"，口袋裡裝著綠卡和少量的美金，於是一種新神聖棗曰"打狗脫"（Doctor）或曰"皮兒取帝"（Ph.D）便告出爐。 "打狗脫"們是些什麼樣的神聖？他們門第高貴，對數學工具極其熟練，能將"關公戰秦瓊"的可行性和"加州的草魚市場是否存在種族歧視"用十頁以上的數學公式演繹出來。由於普通人和一般學生實在不懂他們的語言，他們也就更易成為最神秘、也最受景仰的一群。一般來說，這是這個時代最讓人覺得象X學家的X學家。

因為洋學位的背後是美利堅的天下無敵，是洋宗師"菲家""諾家"（菲爾茲獎、諾貝爾學獎）巨無霸牌子，或者至少自家宗師也與菲家、諾家沾上點兒關係，所以土派們不得不仰視之、畏懼之。他們挾洋風、闖學海，揚名立萬，黃道、黑道、紅道，均能通吃到底，無不膺服。

佔山為王法：蓋今日誰最有知識？曰博導、碩導，曰院長、系主任、所長，曰主編、總編。於是有志之士當盡力為之，搶佔了這些崗位，就成功了百分之九十。 按今日之體制，博士點、碩士點是個聚寶盆。學校靠它樹名氣、掙外快。一旦缺少真正高水平的鴻儒碩耆，學校比你急。學校必想盡一切辦法扶持你，拉你入隊，助你成名。因此，已有博點、碩點的地方須看斷層是否存在，這是你能否快捷成為博導、碩導的關鍵之所在。.......要是沒有博點、碩點、恐怕就難些，不過不也用怕，如今高校、研究所痛感博、碩點的含金量，勢必將爭"點"當成頭等大事，重點攻關，制訂三年計劃。職稱不夠，則鼎力相助，文章不夠，則以次充好。評審委員會的人士也深明"抬頭不見低頭見"的至理，和"以大局為重"的責任感。多一個教授決不會危害社會。

傍大佬法：此法屬那種願意腳踏實地，甘充"二流"的人所用。不過"英雄不問出身低"、"千里之行，始於足下"，二流可變一流，雖屬起步之法，略顯卑微，卻很管用。所謂"大佬"者，指學界大佬，也就是說，在X學界揚名日久，著作不少，資歷夠老，選定之，瞄準之，靠近之，討好之，吹捧之，最後是利用之，並且是趕上之，超越之。 這裡頭的緣故還在於傍與被傍乃是一個辯證關係，屬互惠互利型。就被傍者來說，他需要追星族才能使自己光輝萬丈。更何況傍者必奉之以金錢、關係。盛名與鈔票齊飛，序言與專訪一色，恭請顧問、奉迎視察，如此等等，都是被傍的好處。

傍者為什麼要持此戰略? 蓋大佬者，學閥也，與軍閥有類似之處，但其心仁慈而已。手握評職稱、定博碩點、招收弟子，乃至"核心刊物"發稿權，種種隱性學權，均可令傍者大獲其益。傍者曰："我是X老的弟子"或是"X老的弟子xx的弟子""X 老對我很重視，評價很高"，因而其學術必高，倘若拿出幾幅照片或者一篇序言，就更確鑿無疑了，善傍者廣傍天下大佬，成為其學術地位下的被保護人，受其栽培，因而文可因其薦而發，書可因其薦而印，結黨成風，漸豐羽翼，大業可成。

此文雖然幽默、挖苦，但所反映的問題是相當嚴重的，對我國科學、學術的健康發展是一種潛在的腐蝕。筆者曾在《光明日報》上見到郭啟宏撰寫的文章，名叫《毀稿、改稿及其他》。郭先生在列舉了許多中外古人對於著述、創作的極端認真態度後，用"高原煮水"來比喻目前我國文藝界的某些浮躁現象。他說："眼見著水開得嘩啦啦響，一測試，不過七八十攝氏度，稀飯都煮不熟。試看當今文藝界……文化壓強不能達標，浮躁便成了….一種時尚，悲夫"！筆者不瞭解文藝界，但認為這種比喻若用於形容目前我國科學界的某些區域性現象，恐怕也是非常貼切的。

因為我國目前"科學壓強"在某些方面或許還要弱於"文化壓強"（需要說明的是，筆者自己在科研中也有浮躁傾向，但並不敢以此為榮）。因此，筆者認為，在科學、學術等領域，也應注意開展一種長期的"講正氣"的教育。雖然從我國科學落後的基本情況看，進行這種教育可能在短期內很難奏效，但是，筆者堅信：在任何一個學科中，如果沒有健康嚴肅的優良學風，則這一學科必然是難以真正立足於世界的。

我們無論從事任何工作，要想取得成績、作出貢獻，就必須付出代價，甚至作出犧牲。這應該說是一條顛撲不破的唯物主義原則，或者說是一種正常而合理的價值規律。為了具體顯現這一點，我們不妨來看兩個不同型別的例項。

我們先看一箇中學教育方面的例子。數學教育家趙慈庚在1985年寫的一篇回憶性文章《芒鞋餘跫》（芒鞋即草鞋，跫為腳步聲，此文未正式發表）中，記述了抗日戰爭爆發後北京師大及附中的師生們流亡到西安，然後又奉命南遷，路過寶雞後徒步跋涉、翻越秦嶺，到達陝南城固建校的情況。他當時主要在附中工作，關於附中，文中有如下的記載："舊日北京師大附中有所成就的原因，我認為主要在教員。這是從教員方面按實際情況分析得到的結論"，"受信任的附中教員，沒一個不求上進的教書匠，他們都兢兢業業，追求學問"。

記得1940年2月7日是陰曆除日，各班留校學生都有除夕同樂會。應邀前往的教師會後回臥室，照常讀書。晚上十二點以後，我走出屋門，冷靜一下熱脹的頭腦。恰好賈晰光捧著一個茶杯也出來了。他走到我身旁，輕聲地說："你看這大年三十兒夜裡，城固縣的人都睡了，惟有我們這十間靜悄悄的草房，窗明燈亮"。我再前走幾步，向東望望，圖書室兩側四間小房的燈也都亮著，這就是當年附中教員的本色"。

關於學生，文中說青年一跨進附中大門，便不能不勤奮努力，懶散邋遢的病菌，不能在這裡生存，誰出現這種毛病，誰就被同學瞧不起。課外作業，不待督促，都能完成得很好。每年高中畢業沒有不能升入大學的，多數學生能考取兩個知名的大學"。據筆者所知，數學家路見可和王浩，就曾是當年附中的學生。

趙先生在1992年寫的另一篇文章《評述教績的原則》（此文也未正式發表）中說："我們在陝南停駐八年，到陝西的第三年便成了全國的模範中學，這是自力更生的成果，若在今天一定是重點中學，他的成功，除去繼承了抗戰前附中的聲譽，而外別無任何補助。如果先經過上級指定，經費與裝置特別優待，政治性的新聞給他宣，,統一招生給他分配優等學生。這樣學校即便畢業生的升學率很高，如果說他成功，大家不會心悅誠服"。

這一事例，反映了在中學教育中做出貢獻所付出的努力，也反映了一種優良的辦學學風。在後文中將要引用的《錢學森》一書中，著者們也曾用很長篇幅記述了錢學森先生對20世紀20年代北師大附中的教師及學風的回憶。可見這種學風是多年形成的。筆者未曾上過北師大附中，但從抗戰前到解放後，像這種全心全意獻身教育事業並做出重要貢獻的人和事，在別處也常有見聞。

筆者認為，在我國當前的教育改革中，像前輩們這種辦教育的事業心、責任感和艱苦奮鬥、銳意進取的精神，是很值得我們認真學習、繼承和發揚的。我們再以數學家陳景潤為例，從20世紀60年代初到70年代初，陳景潤在向"哥德巴赫猜想"進軍的征途中，用了三年時得出了著名的"1+2"結果，然後，又用了七年時間給出大為簡化了的證明。這是至今仍在世界上領先的科研成果。陳景潤的簡化證明研究，是他在文化大革命中遭受衝擊、身體嚴重病弱的情況下，依靠痴迷數學的可貴精神和無私忘我的堅強毅力而進行並完成的。關於他獲得這一光輝成果的艱苦歷程，報刊上曾多次發表過有關的報道。

現在再從《陳景潤傳》中摘引兩段有關的動人記載："與他的數論研究齊頭並進的是他日益嚴重的腹膜結核症，他的體溫處在經常的低燒狀態，渾身出著冷汗。腹部的疼痛常常迫使他停下手中的工作，鉛筆從他顫抖的手中滑落，汗水浸透了衣衫，他的手用力擠壓著腹部，蹲了下來疼痛一過，他又馬上拿起了筆..."，下面一段是陳景潤在重病中堅持研究時所說的話："我知道我的病早已嚴重起來，細菌在吞噬我的肺腑內臟，我的心力已到了衰竭的地步，我的身體確實是支援不了！惟獨我的腦細胞是異常活躍，所以我的工作停不下來,我不能停止"。這是何等可敬可佩的科學精神!這又是何等可歌可泣的獻身精神！

在此，筆者願意重提前文引過的維納的話："學者的紀律是獻身於追求真理，這包括願意做出這種獻身所要求的那種實際犧牲"。陳景潤就是一位用生命來實踐這種高標準紀律的數學家。筆者認為，維納的這段話不但對於數學工作者適用並且對於各種科學、學術、藝術及任何行業的工作者也都是適用的。由於我國在現代數學及科學方面的研究缺乏深厚的傳統，所以在數學及科學工作中，這種認識與精神就更是值得提倡和強調。

資訊時代的主要標誌，是現代計算機（電腦）的廣泛使用。而電腦的廣泛使用，是由於其硬體的小型化和大批次生產，以及各種基本軟體和應用軟體的出現。理論計算機科學主要就是研究計算機的邏輯性設計及軟體理論的學科。理論計算機科學與數學的關係很密切。首先，現代計算機的邏輯原理是由數學家們提出來的。例如，現代的絕大多數計算機都是所謂馮·諾伊曼式的，而馮·諾伊曼是數學家。

又如，計算機科學界有圖靈獎項，而圖靈於20世紀30年代在研究數理邏輯問題時提出了理想的"圖靈機"這一基礎性數學概念，它至今仍在計算機的理論研究中起重要作用。另外，在計算機上運轉的大量複雜軟體，也是由很多具有高度數學水平的專家們領導編制的。而現代計算機科學中的大批研究課題也都是數學性的問題。所以，在現代生活中，人們在大量使用電腦的時候，如果想對電腦的邏輯性工作原理以及軟體的編制有些瞭解，就需要一定的數學性知識或能力。從這一方面看，一定的數學素養，可以說應是資訊時代的人們所需要的文化素養的一部分。

在數學對計算機科學的應用中，起著最基本作用的是數理邏輯。數理邏輯主要是從20世紀早期為研究數學中的基礎性問題而發展起來的。在它自身理論發展的初期，由於對其他數學分支及計算理論的應用還不多，所以很多數學家對它不甚注意。後來，由於它在現代計算機理論的發展中起了重要作用，才受到較多的注意。例如，數學家勒雷在1973年就曾說："科學的歷史畢竟難以預料。數理邏輯在默默無聞的情況下，為計算機時代的到來提前做好了準備…”，時至今日，數理邏輯對於數學本身的應用也越來越多了。這主要是因為數理邏輯在實質上仍是對數學中常規邏輯思維的一種延伸。

上述的事實也使我們得到一種認識，即對於數學理論的發展，不應急於強調其立竿見影式的實用性，否則，會影響其理論自身合乎內在規律的正常發展，從而也會影響其更多更好地發揮可應用性。如果過於重視實用性，而不重視基礎研究，則無異於拔苗助長或殺雞取卵。而事實上，由於種種原因，我們有的學科在某些地方就正面臨此種窘境。在數學中，像這種先有某種基本理論，然後才得到重要實際應用的事例也是不少的。例如，上引的勒雷還曾說過："四個多世紀以前，卡爾達諾等人發明了複數，而如果沒有這項發明的幫助，無論是交流電的控制還是電網的建設很可能都無法實現。他走在我們工業需要之前三個世紀"，然後，他從認識論的觀點強調了數學科學的重要性。

又如，數學家W. Magnus在1978年曾說："在許多情況下，科學家會找到他們所需要的，已經準備好的，現成合用的，有時甚至是好多世紀之前形成的數學工具"。他提到了在公元前3世紀即已出現的二次曲線理論，直到17世紀才被天文學家 Kepler所應用。Magnus又談到機率論，他說："機率論的研究是由賭博所引發的，最終得出的結果是機率法則是自然界規律中本質的組成部分"。

又如，現在在軍事及商業方面廣泛應用著的密碼通訊。關於如何編制密碼使之難以被外人破譯，現已成為一種重要的專門技術。在這方面，過去被人們認為實際用處不大的數論及抽象代數等學科，已是被廣泛應用的數學工具。對於"數學的發展往往走在實踐前面"的認識，並不只是數學家們才有。

例如，理論物理學家A. Jaffe在1994年談論數學與物理的關係時也曾說："我相信，大多數重要的應用方向都是在早先的基礎理論發展之上才得以產生的"，又如，數學中的對策論（博奕論）是從研究遊戲中的策略開始的，而現在卻在經濟學中得到重要應用。因此，能否重視和加強基礎科學研究，

在相當程度上的確可以反映一國領導人的科學素養和科學眼光。

為什麼數學中要重視邏輯？

中學生們在做算術或代數習題時，常常習慣於互相核對答案，以判斷是否做對了。一般說來，正確的解法會得到惟一的答案。但是反之，答案正確卻未必能保證解法是正確的，因為可能有"歪打正著"或盲目拼湊等情況出現。如果這樣，學生就不能從中受到正確的教育。到學習幾何時，教科書和教師們就更強調邏輯性的證明了。這時的習題，一般是先告訴你題設和結論（結論已知，就不需核對了），而要求給出證明，即要求說明題設和結論之間必然的邏輯聯絡。

數學中最重邏輯論證（數學計算也是邏輯論證的一種特殊形式）。因為正確的邏輯證明能保證在一定的前提之下，一定的結論必然成立。這是前提和結論間一種普遍性的聯絡，萬無一失。也只有這樣，才使得數學和數學化的科學理論能走在人們的科學實踐前面,起到為科學實踐開路或探路的作用。

這裡所說的邏輯，是指形式邏輯。在數學的研究和發展中，還需要進行大量的探索性、分析性、概括性等思維活動，但這些都要在首先具有了嚴格的形式邏輯訓練的基礎上才能有效地起作用。並且，這些思維活動更主要是數學研究方面的工作者們所關心的事，所以在這裡就不談了。科學家錢學森當年在北京師大附中上高中時，正值數學家傅種孫在附中兼課，給該班講授平面幾何。錢學森對傅種孫先生的透徹講解印象很深。在祁淑英、魏根發著的《錢學森》一書中有如下記載：

錢學森印象很深的，是傅老師把幾何的邏輯推理講得透徹極了，而且也很現代化。傅先生在課堂上講過一段很精闢的話，久久留在錢學森的腦海裡。傅老師說："有了公理之後，定理是據公理邏輯推斷的必然結果。只要承認公理，根據公理推出的定理只能有一個，沒有第二個。不但在附中的教室裡是如此，在全中國也是如此；不但在全中國如此，在全世界也是如此；就是到了火星上，也還是如此"。

對於傅老師的這段話，成名後的錢學森常常提起，並且十分讚賞。他說："我看這個講法好，徹底極了。火星上都是一樣的跑不了的"。他還深有感觸地說："聽傅老師講幾何課，使我第一次懂得了什麼是嚴謹科學"。

這裡稍帶對傅先生作個簡介。傅先生是20世紀最早在我國提倡現代數學思想及方法的數學家之一，曾在20年代譯述了羅素及希爾伯特等的有關著作，並對現代數學中最基本的公理化方法有深刻的研究及見解（王世強是傅先生晚期的學生）。在科學研究中，為什麼一定要追求這種邏輯上的正確性呢？人們在科學實踐中大量經驗的積累不是也很能起作用嗎？我們說，在各種科學越來越發達，人們的科學實踐也越來越多樣化、複雜化的現代社會中，若想使科學實踐進行得更快更好，最好能大部分或區域性地使用數學化的方法，為實踐服務或探路。例如，各種數學模型的應用及其在電腦上的計算等。而在數學自身的研究中，只靠人們有限的經驗是不能立刻得出更一般的可靠結論的。

對於數學性的論斷，必須有合乎邏輯的證明才能真正被確認。

下面舉兩個例子來說明這一點：我們考慮下列的與 Femat定理類似的問題，是否存在正整數a，b，c，d，能適合a⁴=b⁴+c⁴+d⁴？對這一問題，由於缺少簡單合用的理論或方法，我們不妨從驗算一些具體的a值來觀察。我們先逐一計算a=1，2，3....100的情況，都不能找到合適的b，c，d，我們再擴大到計算a=101，…,1000的情況,仍找不到合適的b，c，d。我們甚至再擴大到計算a=1001，...，100000的情況，結果仍是如此。至此，我們已經有了十萬次實際經驗，我們能否就此"歸納"出般的結論說"不存在正整數a，b，c，d能使a⁴=b⁴+c⁴+d⁴呢？我們說："不能"!

根據這些經驗，我們只能提出如上的猜想（18世紀的數學家尤拉就曾作如上猜想)，但不能做出如上的斷言。而猜想是否成立，則需要繼續作進一步研究。果然，到1987年，有人找到了如下的反例：422481⁴=95800⁴+217519⁴+414560⁴，與上類似，尤拉也曾經猜想過：不存在正整數a，b，c，d，e能使a⁵=b⁵+c⁵+d⁵+e⁵，但是在1966年就有人找到下列的反例：144⁵=27⁵+84⁵+110⁵+133⁵，類似這樣的例子在數學中還有很多。這些都說明，在數學中經驗不能代替邏輯。

傅種孫先生出席全國先進生產者會議時教師和同學獻上鮮花和大紅花

如果我問你："學生戴眼鏡嗎？"，你一定認為這個問題很可笑，因為有的學生戴，有的學生不戴，只說"學生"這一前提並不足以決定其是否戴眼鏡。必須再補充說是哪一個具體的學生，並且要給出特定時刻，才能有明確的答案。這個"前提不足以決定結論"的例子太簡單，所以人們不認為是值得注意的問題。

但是，在數學中，有些性質完全類似的例子，就不這麼簡單了。甚至數學家們也會提出類似的不明確的問題。一個數學圈內人們較熟悉的例子是："過一直線L外的一點P，有幾條直線與L平行？"，它的答案與幾何中前提性的公理組有關，不能一概而論。由於現代數理邏輯的發展，近年來發現了很多與以上性質類似但更復雜的不明確問題的例子，其中有些問題並且是由著名數學家們提出的。

例如，集合論中的連續統假設( 希爾伯特第1問題）、可換群論中的Whitehead問題、 Banach代數方面的Kaplansky問題、拓撲流形方面的Alexandroff問題，等等。它們都曾是多年未能解決的難題，後來由於數理邏輯中公理集合論的深入發展，才逐個瞭解到它們不可能在通常的樸素集合論中得到確定的答案，必須加用新的集合公理才行。而當加用了不同的新公理後，它們可以有真假不同的答案。

以上這些結果，大都是在20世紀60~70年代得到的。現在再舉一個較新的例子。在數學系的《泛函分析》課本中，有一條常用的Baire定理，其內容是說："每個完備度量空間都是第二綱的"。但在1993年，N. Tsukada得到一個似乎與上述結論相矛盾的結果：他構作了一些完備度量空間，它們不是第二綱的。這是怎麼回事？是誰錯了嗎？事實並非如此，歸根結底，還是由於預設的集合公理組不同的緣故。

上述的連續統假設、Whitehead問題等，其內容在表面上都與通常的數學問題沒有什麼差別，並不像"眼鏡問題"那樣顯然地不明確。因而，人們以前都曾認為它們的答案或為肯定，或為否定，只不過還不知道而已。直到後來陸續發現了它們有如上的不確定性之後，才使人們進一步加深了一種哲學性的認識，即正像歷史上對平行公理的追究導致了非歐幾何的發現一樣，對於現代數學中不少尚未解決的難題，在其背後都有可能蘊藏著不同的數學體系，而這些問題在不同的數學體系中有不同的肯定性或否定性答案。

所以，我們不應習慣性地輕易就認為一個數學難題的答案"非真即假"。

這就像在物理中小小的原子可以蘊藏著巨大能量那種"小中有大"的哲理一樣，也是人們對現代數學在認識上的一種"小中有大"的哲理性提高。事實上，在數理邏輯發展的初期，一些有遠見的學者就曾有過這種預感。例如，在傅種孫先生等譯述的《羅素算理哲學》的原書序言中就曾說過："倘若有些算學家以為這些界說和討論好像是就本來單純的東西無謂地探討，自取繁雜，那麼，從哲學方面看，他們應當知道這裡也同旁處一樣，看著是單純的，也許暗含著複雜之點"。

傅先生本人也曾說過："越是起初的東西，若是追究起來，越是困難，這是涉獵過算理哲學的人都知道的"。

筆者認為，如上所述，人們在數理邏輯的基礎性研究中發現了很多不同的數學體系。這除了幫助解決一些數學難題的不確定性之外，還有很大的哲學意義：發現了它們，就好像是在天空發現了不少與地球類似的天體，雖然它們還未曾被人們大量利用，但將來卻可能對人們十分有用。並且，這些發現至少對開闊人們的眼界、增進人們的智慧和加深對數學內容的認識是很起作用的，因而這些發現本身就是對於人類智力進化的很大推動和啟發。關於數學自身，有不少數學家談到它在某種特定意義下的美學性質。其中，有人認為數學中的重要規律性結論或公式應該是"簡潔"的。

對此，筆者有一點不同的看法。筆者認為：對於數學中所反映的客觀規律，人們沒有理由認為它應該按照人的尺度符合人們主觀上的簡潔要求。例如，在公理集合論中有一條重要的Martin公理，它在研究很多數學問題時常常被引用，但是這一公理自身卻不是用一兩句話就能說完的。由於需要先定義一些目前尚不常見的專門概念，這一公理一般要用半頁紙以上才能說清楚。還有些其他常用的集合論新公理也與此情況類似。筆者還認為：雖然簡潔性這一主觀概念也可以隨著人腦的不斷進化而變得越來越複雜些，但這總是趕不上科學研究中諸多概念日益複雜化的快速腳步的。

上面所述，一方面說明數理邏輯對於數學研究的重要作用，另外它也可以從更廣義的方面啟發我們：人類對客觀世界的認識不斷前進不斷深化的，這不但在數學中是如此，在各種科學、學術、藝術及其他事業中也都應是如此。

以上是一名中國學者心中科學與數學的樣子，

請不要讓科學兩字在中國這片土壤上被腐蝕 。