本文轉自：《數學譯林》2020年第2期。
譯自: Proceedings of the International Congress of Mathematicians，Helsinki，1978. History of mathematics: why and how，André Weil. André Weil（韋伊），1906-1998，法國人，20世紀最偉大的數學家之一，他是法國 Bourbaki（布林巴基）學派的早期成員。1941年他移居美國後於1958年成為普林斯頓高等研究院教授，1976年退休，他的主要貢獻在連續群和抽象代數幾何學方面，他於1979年獲得Wolf（沃爾夫）數學獎，並是巴黎科學院院和美國國家科學院外籍院士。
我的第一點將是顯而易見的。某些學科的整個歷史就由我們當代的幾個人的回憶錄組成，相比之下，數學不僅有歷史，而且有很長的歷史，至少大約始於 Eudemus（歐德莫斯）（Aristotle（亞里士多德）的學生），數學史就被寫成文字。於是，“為什麼”這個問題可能是多餘的，或者表述成“為誰”更合適。
一般的歷史書為誰而寫？為受過教育的普通人，如 Herodotus 所為？為政治家和哲學家，如 Thucydides 所做？為自己的史學家同行，如現在大多數的情況？藝術史家的合適讀者是什麼人？他的同事，或大眾藝術愛好者，或藝術家（藝術史家似乎對他們沒什麼用處）？音樂史怎麼樣呢？它主要關注音樂愛好者，或作曲家，或表演藝術家，或文化史家，或是完全自立的學科，僅限於從業者鑑賞？類似的問題已在顯赫的數學史家，Moritz Cantor，Gustaf Eneström，Paul Tannery（塔內裡中熱烈地爭執多年，像對大多數其他話題一樣，Leibniz（萊布尼茨）早已有話要說:
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“歷史學的用處不只是可以給每一個人應得的公道以及其他人可以期盼類似的稱讚，也透過輝煌的事例促進發現的藝術，昭示其發現的方法”
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人應該被永久的聲望這一前景驅勵至更高的成就當然是一個從古代傳承下來的經典主題，比起先祖我們似乎變得對此不太易受影響，儘管它或許就沒那麼發揮威力。至於Leibniz 的說法的後面一部分，其旨意是清楚的。他想要科學史家首先要為有創造力或將有創造力的科學家而寫，他在寫作回顧其“高貴的發明”微積分時在腦海中就是以那些人為讀者。
另一方面，如 Moritz Cantor 注意到那樣，在處理數學史時，可以把它看做一個輔助性的學科，意指為真正的歷史學家提供根據時間、國家、主題和作者等整理的數學事件的可靠編目。於是，數學史是技術和手工藝史的一部分，且是不太顯要的部分，從而整個地從外部看待它是合理的。研究19世紀的一個史學家需要知道一些關於鐵路機車帶來的進步的知識，為此他必須依靠專家，但他不關心機車如何工作，也不關心投入到創立熱力學的艱苦巨大的才智努力。類似地，航海表和其它航海輔助技術的發展對研究17世紀英格蘭史的專家並非無足輕重，但Newton（牛頓）在其中的作用至多給他提供一個腳註；Newton作為鑄幣廠的監管人（Newton在其53歲時任鑄幣廠監督，3年後任廠長），或也許作為一個顯赫貴族的情婦的叔叔，比起Newton作為數學家，更接近他的興趣點。
換個角度看，數學偶爾可以作為某種“示蹤物”提供給文化史家以研究各種文化的互相影響.隨著這個角度，我們來到更接近我們數學家真正興趣所在的事情；不過，即使這兒，我們的看法和專業的歷史學家有很大的差別.對他們而言，一枚在印度某地發現的羅馬錢幣有顯著的意義，但一個數學理論幾乎不會這樣。
這並不是說，一個定理，甚至在相當不同的文化環境，不會屢次被重新發現某些冪級數展開似乎獨立地在印度，日本，歐洲被發現。Pell（佩爾）方程（Pell方程，實由Fermat提出；後 Euler為由Pell提出，並寫入其著作中，故後人皆稱其為Pell方程）的求解方法在12世紀的印度被 Bhaskara（婆什迦羅）闡述，然後，在1657年，因接受Fermat（費馬）的挑戰，再度被 Wallis（沃利斯）1）和 Brouncker（布龍克爾）闡述人們甚至能為這樣一種看法提出論據，類似的方法可能希臘人，也許 Archimedes（阿基米德自己，已經知道；例如Tannery提議，印度人的解法可能具有希臘身世；迄今，這必定仍然是一個沒用的推測，當然沒人會提出在 Bhaskara和我們17世紀的作者之間有聯絡。
另一方面，鍥形文字記載的二次方程代數求解方法，披著幾何的外袍，卻壓根兒沒有任何幾何動機，在 Euclid（歐幾里得）那兒再次現身，數學家會發現把後一種論述稱作“幾何代數”是合適的，並傾向於假設它與巴比倫有聯絡，即使缺乏任何具體的“歷史”證據。沒人索要文獻以證實希臘文，俄文和梵文的共同起源，或提出理由反對將它們定為印-歐語言。
現在是時候，離開那些普通人及其他學科專家的觀點和意願，回到Leibniz[的觀點]，本質地，也從我們數學家自利的角度考慮數學史的價值。僅僅略微偏離Leibniz，可以說它對我們的首要用處是把一流數學工作的“輝煌的例子”放置或保持在我們眼前。
但這使得史學家必需麼？或許不，Eisenstein（艾森斯坦）很小的時候透過閱讀 Euler（尤拉）和 Lagrange（拉格朗日）的著作愛上數學，沒有史學家告訴他這麼做或指導他閱讀。不過比起現在，在他那個時期數學以不那麼忙碌的步伐前進。誠然，一個年輕人現在可以在其同代人的工作中尋找榜樣和激勵，不過很快就會發現這有嚴重的侷限。另一方面，如果想回溯更遙遠的過去，他可能發現自己需要一些指點，是史學家的職責，或至少是對歷史有感知的數學家的職責，給予指點。
史學家還能在另一方面起作用，在想要學習當代工作時，憑經驗我們都知道從個人的相識獲益多少；那些大大小小的會議幾乎沒有任何其它的目的。過去的偉大數學家的生活可能多是沉悶不那麼激動人心的，或可能在普通人看來似乎如此；對我們而言，他們的傳記在生動再現這些大家和他們的環境以及他們的論著這方面的價值不小。關於 Archimedes 除了已推斷的他在敘拉古（Syracuse）保衛戰中所起的作用外，哪位數學家不想知道更多呢？如果我們手頭僅有 Euler的論著，對 Euler 的數論工作的認識會是完全同樣的麼？Euler在俄國定居，和 Goldbach（哥德巴赫）信件來往，偶然瞭解到Fermat的工作，在很久後的晚年開始與 Lagrange通訊談數論和橢圓積分，我們讀這樣的故事不是無窮多地更有趣麼？透過他的信件，這樣的偉人就成了與我們近在咫尺的相識者，我們不應為此而愉快麼？
然而，到目前為止，我僅僅觸及了主題的表面。Leibniz勸告研讀“輝煌的例子”，不只是為了美的愉悅享受，而且主要是為了“促進發現的藝術”。在這一點上，就科學的事情而言，需要清楚區分戰術與戰略。
所謂戰術，我理解為，科學家或學者在特定的時段裡對手頭可用工具的日常運用，這最好從稱職的教師那兒和研讀當代工作中學會。對數學家，可能包括一會兒用微分學，一會兒用同調代數，對數學史家，戰術上和通史學家有很多的共同之處，他必須尋找源頭上，或盡實際可能接近源頭的資料證據；第二手的資訊價值甚小。在有些研究領域，人們必須學會猜取和閱讀原稿；在其他的領域人們可能滿足於發表的書面材料，然而它們的可靠與否這一問題就必須總要放在心上。一個不可缺少的要求是對原始資料的語言具有足夠的學識。所有歷史研究的一個基本和明智的原則是：在原件可獲得的情形下，翻譯永遠不能替代原件。幸好，除了拉丁和現代西歐語言外，15世紀後的西方數學史極少需要其他語言知識；對很多的目的，法語、德語，有時英語甚至可能就足夠了。
與戰術截然不同，戰略意指識別主要問題的藝術，從問題的切入點處攻關，建立未來的推進路線。數學戰略關注長期目標，需要對大趨勢和想法認識的長期演變有深刻的理解，這幾乎無法區分於 Gustaf Eneström 時常描述的數學史的主要目標，就是，“數學思想，從歷史的角度考慮”，或如 Paul Tannery說的那樣，“思想的源流和一系列相關的發現”。那兒有我們正在討論的學科的精髓，一個幸運的事實是，根據 Eneström 和Tannery，數學史家首先要注意的方面也是一個對那些要超越日常工作的數學家有最大價值的方面。
誠然，我們得出的結論沒什麼實質的內容，除非我們在什麼是和什麼不是數學思想上達成一致。關於這一點，數學家幾乎無意請教外人，用 Housman（在被要求定義詩時）的話說，他[數學家]可能無法定義什麼是數學思想，但當嗅探某個他知道的思想時，他覺得會清楚[它是否為數學思想].他不大可能看到一個[數學思想]，比如，在 Aristotle關於無限的推測中，也不會在中世紀的許多思想家關於同一主題的推測中，即使其中有些在數學上比 Aristotle的有趣得多；無限成為數學思想是在Cantor（康托爾）定義了等勢集並證明了一些定理後。希臘哲學家關於無限的觀點本身可能是很有意思的，但我們真的相信它們對希臘數學家的工作有很大的影響？我們被告知，由於它們，Euclid不得不避免說存在無限多個素數，必須以不同的方式表達這個事實，那又怎麼會，幾頁之後，他說道“存在無限多條線”與給定的線不可共測（incommensurable）？有些大學為“數學的歷史和哲學”設立了教職，我難以想出來這兩個學科有什麼共同點。
不那麼清晰的是這個問題，何處“普通概念（用 Euclid的詞語）止步，何處數學開始。前n個整數之和的公式與“Pythagoras畢達哥拉斯”的三角數概念密切相關，肯定值得稱為一個數學思想；但對初等的商業算術，自古代的眾多的關於這一主題的教科書到 Euler關於這一主題的混飯吃之作，它都現身，我們應該說啥？正二十面體的概念顯然屬於數學，對立方體這一概念、矩形、圓（可能與輪子的發明是分不開的）也能這樣說麼？此處有一個介於文化史和數學史之間的模糊地帶；在哪兒劃定界限不那麼重要。所有的數學家能說的是，越近於穿過界限，他的興趣往往會搖擺。
然而，一旦我們同意數學思想是數學史真正的研究物件，可能會得出一些有用的結論，其中一個由Tannery表述如下。沒有任何疑問，他說，一個科學家[如果]能夠擁有或獲得在其科學的歷史上做出傑出工作所需的全部素質；他作為科學家的才能越大，很可能他的歷史工作會做得越好。作為例子，他提到了 Chasles（沙勒）於幾何，Laplace（拉普拉斯））於天文，Berthelot（貝特洛）於化學；或許他也想到了其朋友 Zeuthen。他很可能會援引 Jacobi（雅可比），如果 Jacobi 活著的時候發表了其歷史工作。
但例子幾乎沒有必要，的確，很明顯，識別模糊或不成熟形式的數學思想，現身光天化日下之前在許多被認為是恰當的假象下追蹤它們的能力，最有可能是與比平均數學天賦更好的天賦連在一起的，更有甚者，它是這種天賦的一個主要成分，因為發現的藝術，很大程度上在於牢牢抓住“在空氣中”的模糊想法，有的在我們周圍飛，有些（援引 Plato（柏拉圖）的話）漂浮旋繞在我們自己的頭腦中。
一個人應該掌握多少數學知識才能做數學史？根據些人的說法，所需的比計劃寫的那些作者所知的差不多；有些人甚至說，知道的越少，在以開放的心態閱讀那些作者和避免時代誤植上就準備得更好。事實上恰恰相反。沒有遠超其表面主題的知識，幾乎都不可能做到深刻理解任何特定時期的數學更常見的是，讓它有趣的正是那些早期出現的概念和方法註定只是在後來顯現在數學家的自覺意識中；歷史學家的任務是分離它們並追蹤它們對後續發展的影響或沒有影響時代誤植在於把這種[顯]意識知識歸因於某個從未有過[這種知識]的作者；把 Archimedes看作為積分和微分學的先驅，其對微積分的奠基人的形響幾乎不可能被高估，和想從他身上看見，正如有時所做的那樣，一個微積分的早期實踐者，這兩者之間有巨大的差別另一方面，把 Desargues（德薩格）看做是圓錐曲線的射影幾何的創始人不存在時代誤植，但歷史學家必須指出他的工作和 Pascal（帕斯卡）的，不久就陷入最深的被遺忘，只是在 Poncelet（龐斯萊）和 Chasles獨立地重新發現這整個學科後才被拯救出來。
類似地，考慮以下斷言：對數建立介於0和1之間的數的乘法半群和正實數的加法半群之間的同構。這在比較近期之前是沒有意義的。然而，如果我們把這些詞彙擱在一邊，看這個陳述背後的事實，無疑，在 Neper（納皮爾）發明對數時，它們被他很好地理解了，除了他的實數概念不如我們的清楚；這就是為什麼他必須訴諸運動學概念來澄清他的意思，正如 Archimedes 出於類似的原因，在他的螺線的定義中所做的那樣。我們進一步回溯；在 Euclid的《幾何原本》第5卷和第7卷中建立的量的比值和整數的比值理論，由於他稱之為“重比”（double ratio），我們稱之為比的平方，被看做是群理論的早期篇章這一事實是毋庸置疑的。從歷史上看，音樂理論提供了整數比的希臘群理論是有道理的，與埃及那幾分數的純加法處理形成鮮明對比；如果是的話，那兒我們就有純數學和應用數學相互影響的一個早期例子。無論如何，沒有群的概念，甚至帶運算元的群（groups with operators）的概念，我們不可能恰當地分析 Euclid[原本]第5卷和第7卷的內容，因為量的比值被處理為乘法群作用在量自身的加法群上。一旦採用這個觀點，Euclid的那些書就失去了神秘的特徵，直接從它們通達 Oresme（奧雷姆）和 Chuquet（許凱），然後到 Neper 和對數的路線，就變得容易跟隨。這樣做，我們當然不是把群概念歸功於這些作者中的任何一位；也不應把它歸功於Lagrange，即使他做的是我們稱之為 Galois（伽羅瓦）理論的東西。另一方面，即使Gauss（高斯）未置一詞，他當然對有限交換群有清晰的概念，在其研究 Euler 的數論之前就準備好了。
讓我多援引幾個例子Fermat的陳述表明他透過“無限下降法”的證明，對＝的情形，掌握了二次型的理論。他沒有記錄那些證明；但最終 Euler 發展了那個理論，也使用無限下降法，所以我們可以認為Fermat 的證明與 Euler 的沒有太大的差別，為什麼無限下降法在那些情形成功？知道對應的二次域有 Euclid演算法的歷史學家很容易解釋這一點；後者，用Fermat和Euler的語言和記號改寫，正好給出他們用無限下降法的證明，就像 Hurwitz（胡爾維茨）對四元數算術的證明一樣，類似地改寫，給出 Euler（可能也是Fermat）對錶整數為4個平方和的證明。
再用微積分中Leibniz的記號。他一再堅持其不變的特徵，先是在他與 Tschirnhaus（奇恩豪森）的通訊中（他顯得壓根兒不懂），然後在1686年的《學術學報（Acta Eruditorum）》中；他甚至[專門]用了一個詞（普適的（universalitas））。歷史學家已經熱烈地爭議，什麼時候，或是否，Leibniz發現了相對不那麼重要的結果，在某些教科書裡，變得名為“微積分的基本定理”。但是在 Elie Cartan（嘉當）引入外微分形式，並證明記號不僅在自變數（或區域性座標）的變換下不變，甚至在拉回下也是不變的，之前，Leibniz發現的符號的不變性幾乎沒有得到真正的賞識。
現在細看Descartes（笛卡兒））和Fermat之間關於切線引起的爭論。Descartes斷然決定，只有代數曲線是適合幾何學家的課題，發明了一種求這些曲線的切線的方法，基於這個思想，一條可變曲線，與給定的曲線交於點處，當它們的交點方程在對應到處有二重根時，變得在處相切於。不久，Fermat用無窮小方法找到擺線的切線後，挑戰Descartes用其方法做同樣的事情。當然，他不能做到；Descartes就是Descartes，他找到了答案，給了一個證明（“相當短，且相當簡單”，用他為這個情形發明的旋轉的瞬時中心法），補充道他可以提供另一個“更合乎他的口味和更幾何的”證明，但省略了“以免去寫下來的麻煩”；好吧，他說，“這樣的線是力學的”，他已經從幾何中排除了它們。當然，這正是Fermat試圖表達的觀點；他知道，Descartes一樣知道，代數曲線是什麼，但對他的思考方式和17世紀大部分的幾何學家而言，把幾何限制於這些曲線是怪異的。
得以洞見一個偉大數學家的特點和他的弱點是一種清白的快樂，甚至嚴肅的歷史學家自己也無需否認。但從那個事件我們還能得出什麼結論呢？微不足道，只要微分幾何與代數幾何的區別還沒有澄清。Fermat的方法屬於前者，依賴於區域性冪級數展開的前幾項；它為微分幾何和微分學所有以後的發展提供了開端。另一方面，Descartes的方法屬於代數幾何，但限制於它，在需要適用於相當任意的基域上的方法之前，是奇怪的。這樣，在抽象代數幾何賦予它完全的意義之前，爭論要點不能被也確實沒有被恰當地意識到。
還有另一個原因，為什麼數學史這一行，可以被那些現在或曾經活躍的數學家或至少與活躍的數學家有密切聯絡的人，最佳地從事；各種各樣的誤解並非不常發生，我們自己的經驗有助於保護我們。例如，我們太知道，一個人不應該總是假設一個數學家完全意識到前人的工作，即使當他把它包括在其參考文獻中時；我們當中誰讀過他在自己的作品中列入參考文獻的所有的書？我們知道數學家在他們的工作中很少受到哲學思考的影響，即使他們聲稱嚴肅對待它們；我們知道他們有自己的方式處理基礎問題：交替於滿不在乎的無視和最痛苦的挑剔關注。最重要的是，我們已經瞭解到原創思維與常規推理的差別，數學家常覺得為了記錄他必須寫出常規推理以取悅同行，或者也許只為取悅他自己、一個冗長費力的證明可能是作者在表達自己時不那麼貼切的跡象；但更常見的是，如我們所知，這指明他在種種[能力的]侷限下勞作，這些侷限阻止他把一些非常簡單的想法直接翻譯成文字或公式。這樣的例子可以給到數不清，從希臘幾何學（可能最終被這樣的侷限所扼制）到所謂的語言到 Nicolas Bourbaki（布林巴基）他甚至有一次考慮在這類證明的頁邊空白處用一個特殊的符號警示讀者。嚴肅的數學史家的一項重要任務，有時也是最難的之一，正是要從過去的偉大數學家的工作中真正新的部分篩出這樣的常規內容。
當然數學天賦和數學經驗不足以成就合格的數學史家。再次援引 Tannery，“首先需要的是對歷史的一種品味；一個人必須形成一種歷史感”。換句話說，要求一種理智上同情的素質，擁抱過去的時代，同樣擁抱我們自己的時代。即使是相當傑出的數學家也可能完全缺乏這種素質；我們中每個人也許都能說出幾個堅定拒絕瞭解自己工作以外的任何工作的人，也有必要不屈從這樣（對數學家是自然）的誘惑，在過去的數學家中專注於最偉大的，忽略只有次要價值的工作，即使從審美享受的角度來看，持這樣的態度可能失去很多，如同每一位藝術愛好者所知；從歷史上看，它可以是後果極嚴重的，因為在缺乏合適的環境下，天才罕有苗壯成長的，對後者的一定的瞭解是恰當理解和欣賞前者的必要的前提，甚至只要可能，對數學發展的每個階段在使用的教科書應仔細檢查，以便發現，在某個特定的時間，什麼是以及什麼不是常識。
記號也有其價值，即使它們表面上看來不重要，它們可能為歷史學家提供有用的指標；例如，當他發現多年來，甚至現在，字母都被用來表示域，並且德語字母表示理想，他的任務的一部分是解釋為什麼。另一方面，經常出現記號與主要的理論進展分不開的情況，代數記號緩慢發展是這樣的情況，最終在 Viete（韋達）和Descartes手上完成。Leibniz（也許是有史以來最偉大的符號語言大師）對微積分的高度個人創造的記號又是這樣的情況；正如我們已經看見，它們表徵Leibniz的發現那麼成功以致後來的歷史學家，被這些記號的簡潔欺騙，沒有注意到其中的一些發現。
於是，歷史學家有他自己的任務，即使它們與數學家的那些任務重疊，有時也可能與之一致。例如，在17世紀發生，一些最優秀的數學家，在除了代數學以外任何數學領域都缺乏直接的前輩，有許多工作要做，在我們看來，很多會落到歷史學家身上，編輯，出版，重構希臘人，Archimedes，Apollonius（阿波羅尼奧斯），Pappus（帕普斯），Diophantus的工作。甚至現在，不必提及更古老的作品，在研究19世紀和20世紀的產出，歷史學家和數學家並非不常見地會發現他們自己在共同的陣地上。從我自己的經驗，我可以就在 Gauss和 Eisenstein中找到的建議的價值作證。Bernoulli（貝努裡）數的Kummer（庫默爾）同餘，多年被看做僅是好奇後，在進函式的理論中煥發新生，Fermat關於無限下降法用在虧格1的Diophantus方程研究中的思想已在同樣主題的當代研究中證明其價值。
那麼，當都在研究過去的工作的時候，什麼把歷史學家區別於數學家？沒有疑問，部分地，他們的技術，或者，如我提出說成，他們的戰術；但主要地，也許，他們的態度和動機。歷史學家傾向於把他的注意力引向更遙遠的過去和更多種類的文化；在這樣的研究中，數學家可能發現從中除了得到審美滿足和間接發現的樂趣之外幾乎沒有什麼益處。數學家傾向於帶著目的閱讀，或者至少希望由此產生富有成效的建議。這裡我們可以引用Jacobi在年輕時關於一本剛讀過的書的話:“直到現在，”他說，“每當我學習了件有價值的工作，它就激發我原創性的想法；這次結果很是兩手空空”。如Dirichlet（狄利克雷）所注意的，我從他那兒借用了這段引語，諷刺的是，所說的這本書正是 Legendre（勒讓德）的《積分練習（Exercices de calcul integral）》，裡面有橢圓積分的工作，很快就為Jacobi最偉大的發現提供了靈感；但那些話是典型的。數學家去閱讀最主要是為了激發他的原創性（或者，我可以補充說，有時不是那麼原創的）思想；我認為，說他的目的比歷史學家的是更直接的功利主義沒有不公平。然而，雙方基本的職責都是處理數學思想，那些過去的，那些現在的，如果他們能，那些未來的。雙方都能在對方的工作中得到無價的訓練和啟迪。因此我最初的問題“為什麼有數學史？”最後歸結為問題“為什麼有數學？”，幸運的是我未感到被召喚來回答。
「注」
歐德莫斯，古希臘哲學家，公元前370——公元前300。他是 Aristotle的最重要的學生之一，曾與 Theophrastus 一起競選 Aristotle 學派的領袖，但遭失敗。於是，他自己建立了一個獨立的學派——羅德（Rhodes）島學派。他繼承了 Aristotle的邏輯思想，寫了邏輯分析法和範疇方面的著作，以及《論推理》，可惜均已散失。Eudemus在哲學方面的另一項成就是他與別人把 Aristotle 的所有著作收集起來，編成了一本 Aristotle 全集，這對於 Aristotle 思想的傳播起了很大作用。Eudemus是歷史上有資料可查的第一位科學史家。
Herodotus，古希臘作家和地理學家，被認為是史上第一位歷史學家，公元前約484—公元前約425。Herodotus沒有在地方定居，記錄下所到之處之風情。Herodotus以撰寫記述希臘—波斯戰爭（公元前499——公元前479年）的起源和執行的《希臘歷史》而著稱。從其著作中，我們得到“歷史”一詞的現代含義。
Thucydides，雅典的歷史學家和將軍，公元前約460—公元前約400。他的《伯羅奔尼撒（Peloponnese）戰爭史》記載了公元前5世紀的斯巴達—雅典戰爭。在其著作中他採用嚴格公正性和資料收集以及因果關係分析，而沒有提及神靈的干預，因而被其擁護者稱為“科學史之父”；他還被稱為“現實政治流派之父”。
Moritz Cantor，德國數學史家，1829—1920。他最重要的作品是四卷本的《數學史講座（Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik）》，出版時間跨度28年，從1880年到1908年，講述了1200—1799年的數學史，被稱讚建立了新學科。1900年他在巴黎國際數學家大會上做了一小時大會報告。
Gustaf Eneström，瑞典數學家，統計學家和數學史家，1852-1923。他以引進 Eneström指數而聞名，該指數用於識別 Euler的著作，大多數歷史學者透過 Eneström指數來應用Euler的著作；1884—1914，他部分出資創立了數學史雜誌《數學圖書館（Bibliotheca Mathematica）》併為其出版商；在數學史學科，他是 Moritz Cantor觀點的批判者；他與Soichi Kakeya的Eneström-Kakeya定理確定了包含實多項式諸根的圓環。
Paul Tannery，法國數學家和數學史家，1843-1904。雖然 Paul Tannery的職業是從事菸草業，但他將一生用於研究數學家和數學發展。1883年他開始編輯Diophantus的手稿，1885年他與他人一起開始編輯Fermat的作品，之後出版了他的Diophantus和Fermat的版本他還編輯了Descartes的工作和書信。他還是1904年海德堡國際數學家大會的受邀報告人。
婆什迦羅，原文誤為Bhaskara。印度數學家和天文學家，1114-1185。其主要著作處理行星的算術，代數，數學，以及球面，他的微積分研究比Newton和Leibniz 早了半個世紀，有證據表明，他是微分學某些原理的先驅，也許也是第一個想到微分系數和微積分的人。1981年11月20日，印度空間研究組織（ISRO）發射了一顆 Bhaskara II衛星以紀念他
Fermat，全名Pierre deFermat，法國數學家，1601-1665。他和Descartes各白獨立地發現瞭解析幾何；並和 Pascal一起奠定了機率論的基礎；他也曾得到過微積分的某些特性，這些特性後來啟發了Newton 發明了微積分；他也是近代數論的奠基者，以Fermat猜想知名。
Wallis，全名John Wallis，英國數學家，16161703.他最先使用負指數和分數指數，並引進了記號∞和術語“連分數”，也是最早寫學術性數學史的作者之一，微積分之爭中他站在Newton方
Brouncker，全名 William Brouncker，英國數學家1620-1684。他是英國皇家學會創始人之一，任首任會長（1662-1677）他是歐洲解決Pell方程的第一人；他利用無窮級數逼近自然對數計算了拋物線和擺線的長度；他用廣義連分數漂亮地給出π/4和4/π的表示式，現稱為 Brouncker公式。
Eisenstein，全名Ferdinand Gotthold Max Eisenstein，普魯士數學家，1823-1852。1840年17歲的他就去了柏林大學跟隨 Dirichlet學習數學，1843年秋他正式進入柏林大學讀書。1844年1月他就完成了討論兩個變數立方形式的論文，在大學第一年裡他完成了23篇論文，提出了兩個問題，包括橢圓函式和二次互反性，也提出了三次和四次互反性。1847年他就通過了教師資格（Habilitation）。Riemann是其講授橢圓函式的學生。1851年他入選哥廷根科學院和柏林科學院，他1844年的論文早於 Arthur Cayley，第一個提出矩陣的概念。Gauss曾說:“只有3位具有劃時代意義的數學家: Archimedes，Newton，Eisenstein”。
敘拉古（Syracuse）保衛戰：公元前215年，羅馬軍隊以艦隊攻打 Archimedes的出生地港口敘拉古，據傳說，Archimedes率領民眾利用槓桿原理製造了可分遠近距離的投石器，利用它射出各種飛彈和大小石塊；利用凹面鏡聚焦陽光焚燒了羅馬戰船 Archimedes又利用槓桿原理設計了大型反艦起重裝置，用巨大的抓鉤把戰船抓起再將其傾覆於海中，這樣，敘拉古保衛戰持續了3年，終於在公元前212年被羅馬人攻破了城牆，破城時（臨終前），Archimedes正專心致力於數學問題的研究，他傲慢地對羅馬士兵說:“別把我的圓弄壞了！”
Housman，全名Alfred Edward Housman，英國古典學者和詩人，1859-1936。他以其詩集《A Shropshire Lad（Shropshire郡小夥子）》而廣為人知。這些詩甚至吸引了20世紀早期許多英國作曲家為其譜曲。
沙勒，法國數學家，1793-1880。1812年入巴黎綜合理工學院，在S.D. Poisson（1781-1840）指導下獲博學位，J. G. Darboux（1842-1917）是其學生。1837年他出版了《幾何學方法的起源和發展的歷史概述》，研究了射影幾何中的互易極座標方法，這項工作使他贏得了名望。他的著作還包括1852年的《高等幾何》和1865年的《圓錐曲線》，他因創立列舉幾何學領域而獲得英國皇家學會的 Copley 獎章，1864年他入選美國藝術與科學學院外籍榮譽會員。他還是法國埃菲爾鐵塔上所列“七十二賢”之一。他的一件糗事是，他曾輕信並大量購買偽造的科學家舊書信。
拉普拉斯，法國天文學家和數學家，1749-1827.他與拉格朗日（1736-1813）協同工作，證明了只要所有行星都沿同一方向繞太陽執行（確實如此），那麼太陽系行星軌道的總偏心率是常數。他在其不朽著作，五大卷的《天體力學》中總結了引力理論，這樣他就圓滿地完成了A.Newton在行星天文學上的工作，因此他被稱為“法國的Newton”。在1812-1820年間他寫了一部機率論的專注，給出了這一數學分支的現代形式。Laplace最為人所知的是他的星雲假說，簡單地說就是太陽起源於一團旋轉著的巨大星雲。直到20世紀中葉才有更科學的假說替代它。
Berthelot，全名Pierre Engene Marcellin Berthelot，法國化學家和政治家，1827-1907。他在法蘭西學院的博士論文涉及天然脂肪的合成。他使甘油和脂肪酸生成脂肪，使有機合成邁出了決定性的一步。1865年後他系統地合成各種有機化合物，包括甲醇，乙醇，甲烷，乙炔等著名產物。他是第一個合成自然界中所不存在的有機物的人。
Jacobi做學生時，曾在古典語言學和數學之間猶豫不決；他始終對希臘數學和數學史保持深厚的興趣；其關於這一主題的著作的若干摘錄已由 Koenigsberger發表於他寫的 Jacobi 的傳記中（便說一下，一個以數學為導向的偉大數學家傳記的好樣板）:見L. Koenigsberger，Carl Gustav Jacob Jacobi，Teubner，1904 p.385-395和413-414.
德薩格，全名Girard Desargues，法國數學家和工程師，1591-1661。他對透檢視和幾何投影的研究是其之前數百年科學探究的高潮，他被認為是射影幾何學的奠基人之一。他設計了一套安葬在巴黎附近用於供水的系統，它基於當時未認識到的外擺輪原理，以他的名字命名了 Desagues定理，Desargues圖以及月球上的 Desargues火山口。
帕斯卡，全名Blaise Pascal，法國數學家和物理學家，1623-1662。他16歲時出版了一本論圓錐曲線幾何學的書，把1900年 Apollonius前所得結果向前推進了一大步。1642年他發明了一種用齒輪做成的可做加減法的計算機，即當今現金出納機的祖先，他與Fermat 一起解決了賭徒提出的問題，奠定了近代機率論的基礎，他發現了現稱為的 Pascal 原理，它是水壓機的基礎。
龐斯萊，全名Jean Victor Poncelet，法國數學家，1788-1867。他在本科畢業後加入軍隊任中尉工程師參與拿破崙的侵俄戰爭，潰退後被俘。他在獄中思考幾何問題來打發時間，1814年他回到法國後其研究成果發表在於1822年出版的射影幾何學的書中，它被認為是近代幾何學的基礎。
納皮爾，Neper為拉丁文，英文全名 John Napier，蘇格蘭數學家，1550-1617。他把數與指數形式聯絡起來，把計算指數表示的方法稱為對數，這個術語一直沿用至今。1614年出版了他的對數表，它對當時科學的衝擊就如同計算機對當代科學的衝擊，他還發明瞭小數點。
Euclid是否相信量的比值群獨立於所研究的量的類別仍是一個爭議未決的問題
奧雷姆，全名Nicole Oresme。法國中世紀後期的重要哲學家和數學家，心理學家，約1320-1382。他提供了 Aristotle道德作品的第一批白話譯本，至今仍在使用。他還把 Aristotle《倫理，政治和經濟學》翻譯成法文，並對這些文字進行廣泛評論，他所著的《神聖論》批判了占星術。他說第一個證明調和級數發散的數學家，他還研究了分數冪和無限序列機率的概念，在其後5個世紀中這些並未獲得發展。
許凱，全名Nicolas Chuquet，法國數學家，生於1445-1455，卒於1488-1500。他發明了他自已的代數概念和求冪的記號，並可能是將零和負數識別為指數的第一人。
奇恩豪森，全名Ehrenfried Walther von Tschirnhaus，德國數學家，物理學家，醫師和哲學家，1651—1708。年輕時他喜歡旅遊，在荷蘭他遇到Huygens，在英國遇到Newton，在巴黎遇到Leibniz，並與Leibniz保持終身的通訊，他引進的 Tschirnhaus變換可從給定的代數方程中刪除某些中間項。他於1687年發表的《醫學概論》將演繹方法與經驗主義相結合，他還被認為是歐洲瓷器的發明人。
笛卡兒，全名Rene Descartes，拉丁化名字 Renatus Cartesius，法國哲學家和數學家，1596-1650。Descartes是機械論者，他在1637年出版的《方法論》中，一開始就懷疑所有的事物，懷疑的存在意味著某種正在懷疑的東西的存在，即他自己的存在，也就是“我思故我在”。Descartes創立了座標系，從面創立了解析幾何，這種代數對幾何的應用鋪平了Newton發展微積分的道路。他還用字母表中開頭一些字母表示常數，用最後一些字母表示變數，並引進指數和平方根的記號。
阿波羅尼奧斯，希臘數學家約公元前262-約公元前190。他可能在 Archimedes指導下學習過，並以 Euclid的傳統寫了 Euclid未涉及的圓錐曲線的書。
帕普斯，百科全書編者，約290-約350。他是古希臘最後一位偉大的數學家之一。他所收集的著作包括了今天我們所知的幾乎所有古希數學家。
Diophantus，丟番圖，古希臘數學家，約210-約290。他以Diophantus方程和Diophantus通近著稱。在他之前，古希臘數學的光輝成就是幾何學，而他帶來了代數學上的成就。他也是第一個把有理數做為方程係數或解的希臘數學家。