你真的瞭解數學嗎？馮·諾依曼說：“在數學中你並沒有理解什麼東西，你只是習慣了它們而已。”所以我們會疑惑為什麼0.99999...＝1，然而在數學家眼裡，這是再正常不過的事了，我試著通俗的解釋讓你也習慣數學的令人不解之處。

現在忘掉你所學的數學，重新瞭解它。

自然數

數學的故事就從自然數開始，自然數就是0 1 2 3...，為什麼會有自然數？為什麼是0 1 2 3 ...？第一個問題產生了Peano公理(包含5條)，因為數學家也不知道，所以有句流行的話：上帝創造了自然數。然而神奇的是，現代數學僅用這5條公理和邏輯推理而來。至於為什麼是0 1 2 3 ...，這其實是個很蠢的問題，因為這只是個符號，你可以想象成這是自然數到這些符號的對應，當然也有其他表示符號，例如，我們可以有印度-阿拉伯數系{0,1,2,3,..},以及羅馬數系{O,I，II, II, IV, ..}等等，用數學術語說，它們都是同構的。

運算的誕生

有了自然數，我們就可以定義運演算法則，好在這些法則都是人類歷史透過在現實遇到的問題而去解決的過程過誕生的，比如加法，乘法，減法，除法 ...，雖然減法和除法的誕生都很不容易，因為它們的出現，使自然數這個集合更大了，又誕生了負數和分數。

有一點必須要說明的是，這些運演算法則是存在的，就像自然數是存在的一樣，我們可以透過集合論來匯出這些運演算法則(主要是加法和乘法，因為減法和除法本質上是加法和乘法)。由於篇幅不夠，而且數學家也能接受透過定義這個手段來看待加減乘除。

當然僅憑這些運算就能在分數中產生很多能夠證明的簡單事實(有興趣可以去了解證明過程)，比如整數被分數間隔開、阿基米德性質 ...

因為運算能讓我們定義序(＞、=、＜)，有了序我們就能處理現實生活中更多的問題。

無限(第一次數學危機)

好了，現在我們手裡有一堆分數和一些運算，我們可以用他們幹很多事情，比如測量長度，結算貨幣，計算面積...

可是等等！來看看這張圖，透過勾股定理(國外叫畢達哥拉斯定理)我們發現了我們無法用分數表示的數！

(選讀)證明根號2不是分數：假設根號2是有理數，那麼根號2可以由兩個互質的素數表示成p/q，即根號2=p/q，p=根號2*q，兩邊平方得p^2=2*q^2，所以p^2為偶數，所以p為偶數，所以p^2為4的整數倍，所以q^2為偶數，所以q為偶數，得到p、q均為偶數，並不互質，與假設矛盾，所以根號2為無理數。

這是一種流形的證法，但是仔細看也能發現漏洞。

如果我們不斷用越來越精確的尺子去量它的長度會得到1.4 1.41 1.414 ...... 1.4142135623731 ...我們永遠也量不完因為我們已經證明根號2不是分數，這將會產生無限(無限的定義來自於自然數的個數，數學術語是基數)個分數，於是我們的數學家就乾脆把這些數字按順序排列起來的有無限個的數的東西叫做數列。

數列的收斂

現在整理一下，我們可以表示根號2了，就是無窮個有順序的分數，從根號2的表示我們可以發現，這些分數彼此都越來越接近，這就是所謂的Cauchy數列，這些由分陣列成的Cauchy數列就代表一個實數(最後我們會發現由實陣列成的Cauchy數列也是實數，這也是進入大學會學的第一個概念)。

何為相等

透過實數的定義，我們要定義一種重要的關係：等於為了使它成為成功的定義，它必須要有一下性質

a＝a(自己等於自己)

如果a＝b，那麼b＝a

如果a＝b，b＝c，那麼a＝c

數學家找到了這個定義(這困擾了數學家好幾百年)，這也是本篇文章最難懂的地方，我將用0.999999...＝1這個例子來展示

等號左邊就像根號2一樣我們永遠也寫不完，回憶一下根號2實際上是一個數列於是0.999999...也是一個數列，比如0.9 0.99 0.999 0.9999......

等號右邊是我們熟知的分數，分數是一個實數，它也等價於一個數列，比如999 988 1 1 1 1.......

為什麼這兩個數列數列相等(實數相等)，無論你事先多麼小的數x，我都能找到一個自然數N，這兩個數列的第N項之後的數的差都會小於x。事實，也確實如此。