今天要給來自交大十個學院二十多個專業的49位（應到50位）同學講第三章，至簡至美-費馬大定理。

大家都知道勾股定理，西方稱為畢達哥拉斯定理。勾股定理涉及到三元二次方程

。這個方程在整數範圍裡有無窮多個解，比如大家熟悉的3,4,5和5,12,13等等。數學家是必須刨根問底的人，費馬骨子裡是數學家，所以他刨根問底：三元三次方程

怎麼樣？更高次的方程

(n>2)又怎麼樣？現在這樣的方程稱為n次費馬方程。費馬費了九牛二虎之力，還是沒有找到3次費馬方程的任何一個正整數解，所以他猜三次以上的費馬方程都沒有正整數解。費馬是數學的超級票友，毫無根據的話自然不能說，所以他出手證明了4次費馬方程真沒有正整數解。費馬的證明方法現在稱為無窮下降法，費馬認為這個辦法放之四海而皆準，所以他1637年信心百倍地提出了費馬大定理，宣稱3次及以上費馬方程無正整數解，同時意味深長地寫下了一行威風八面的話：“我發現了一個絕妙的證明，可惜書邊的空白太小，寫不下。”

說費馬這句話威風八面顯然低估了其威力，因為這句話困擾了後世三百五十多年！

費馬方程是高次丟番圖方程，比如

就是一個三元三次丟番圖方程。我們都能夠迅速找到該方程的一個解（是什麼？），但把29變為30：

再試試如何？試不出來是正常的，因為我也試不出來，上海交大沒人能試出來！所以試過幾次後建議上網查，答案在《數學的天空》第73頁。

所以丟番圖方程的整數解或有理數解的判定異常困難，實際上1970年，蘇聯數學家馬蒂雅謝維奇證明了“丟番圖方程的可解性不可判定”，宣告了建立丟番圖方程求解的一般性理論是不可能的。

顯然，一次丟番圖方程有簡單的解決辦法，著名的中國剩餘定理就是求解線性同餘方程組的精彩理論。

二次丟番圖方程的定性理論（即有解還是無解）更加精彩而深刻，三十年前我自己第一次見到這個理論時是被徹底打倒的感覺，因為按此理論，下面的等式在實數域中成立！

這是真的嗎？十萬個為什麼？

不看不知道，數學真奇妙！

欲知後事如何且聽下回分解。