導讀

古巴比倫的修辭代數傳入古希臘後，希臘人用演繹的方式分析各個命題，並給出正確命題的證明。其中早期的代表人物有泰勒斯和畢達哥拉斯學派。古希臘人的數學思維方式，也滲透進哲學研究中，例如柏拉圖的工作。

撰文 | 劉建新（科學技術史博士）

01 修辭代數

古埃及和古巴比倫人很早就對數學感興趣，並留下了數學的記錄。公元前1700年左右的泥板書中，記錄了大量的數學問題，不僅有與商業有關的問題還有抽象的數學計算，例如一元二次方程的求解，或者面積、體積的計算。

可以說，巴比倫人的數學超過埃及人，但他們關於面積、體積的計算中，仍然含有大量的錯誤。這與他們表達數學的方式有關。

圖1 泥板書

巴比倫人用文字敘述數學問題，也用文字表述解答過程，這種表達數學的方式稱為“修辭代數”。

例如，在巴比倫泥板書BM13901中，有24個類似的數學問題。其中之一是：一個正方形的邊長加上面積等於3/4，求它的邊長。這相當於求解一元二次方程。但泥板書中，該問題的解答步驟顯得晦澀而不易理解：“把1分成兩個1/2，用1/2乘以1/2得到1/4，將3/4加上1/4得到1的平方。從1中減去1/2，得到1/2。這就是邊長。”

總的來說，巴比倫人的修辭代數有多方面的侷限性：1. 只有解題步驟，缺乏正確性的驗證；2. 不利於思考；3. 不利於讀者閱讀，不易傳播。這些都導致修辭代數中包含很多的錯誤內容。

02 從修辭代數到演繹數學

早期希臘數學的原始材料留存下來得很少，最早的只有柏拉圖、亞里士多德的著作。其後便是公元之後的作者們對早期希臘數學的描述。從《幾何原本》和一些其它作品來看，在公元前300年左右，古希臘人與古巴比倫人的數學就有了顯著的差異。古巴比倫人的修辭代數只有解題的步驟。古希臘人擅長用演繹的方法進行證明，其研究物件主要是幾何學。

古希臘與古巴比倫之間是否存在過數學交流，證據並不十分充分。但有歷史學家認為，巴比倫數學可能在商業活動中傳入了古希臘。例如希羅多德（Herodorus）認為，一天的12小時制來自巴比倫。

當巴比倫的修辭代數傳入古希臘之後，自然伴隨著大量的錯誤，和很多難以理解的解題步驟。因此，古希臘人需要驗證所接受的數學知識的正確性，他們需要搞清結果背後的道理。於是演繹的數學研究方式就產生了。

03 古希臘的泰勒斯

泰勒斯（約公元前624-548年），是希臘早期的重要幾何學家。通常認為，有很多幾何學命題的證明歸功於泰勒斯。

圖2 泰勒斯

包括：1. 圓的直徑將圓分成全等的兩部分；2. 等腰三角形兩底角相等；3. 半圓所對的圓周角是直角等。第一條命題很有趣。一種可能的證明是用反證法。假設某條直徑兩側圓的部分不全等，沿著直徑將圓摺疊，則兩側的圓周不重合。但如此一來，必有兩條半徑不相等。矛盾！

在泰勒斯的時期，數學家們嘗試對各種命題提供證明。每個看似顯然的命題，都需要用更為清晰的方式加以分析，並提取更為基本的假設。逐漸形成系統的演繹體系。

04 畢達哥拉斯學派

著名的畢達哥拉斯學派是帶有宗教色彩的學派，他們信仰數學，信條是：萬物皆數。但是，他們理解的數，不是任意實數，而是正整數以及正整數的比值。西方將勾股定理歸於該學派，並稱該定理為畢達哥拉斯定理。傳說，當他們發現勾股定理的證明時，宰了數百頭牛來慶祝。

圖3 正方形數

圖4 三角形數

畢達哥拉斯學派有“形數”的概念，例如正方形數、三角形數等，如上圖。歷史學家推測，他們可能利用了與形數相關的幾何方法，證明了勾股定理。如下圖。一個直角三角形的邊長分別是b,b+d。以斜邊為邊長的正方形面積等於第1個圖中間小正方形面積，加上四個三角形面積，於是等於。在第三個圖中重新拼湊面積，可以看出它等於小正方形面積加上另一直角邊長為邊長的正方形面積。

圖5 勾股定理的證明。

該學派的另一項數學成就是無理數的發現。該學派有人發現，正方形的邊長與對角線不可公度。他們的證明方式很可能是幾何的。如圖6，假設DB與DH可以公度。不妨設，DB與DH都是整數，而且不同時為偶數。由於正方形AGEF的面積是正方形DBHI面積的2倍，所以AG=DH為偶數。所以AGEF是4的倍數，所以DBHI是2的倍數。所以DB也是偶數。矛盾！

圖6 根號2無理性的證明

當他們發現是無理數時，他們非常震驚，因為這與他們的信條矛盾。後來歐多克索斯提出比例理論，在一定程度上緩解了人們對無理數的困惑。

修辭代數有很多缺點，很多面積、體積公式都是錯誤的。古希臘人發展演繹數學的方式研究數學，克服了修辭代數的缺點。泰勒斯、畢達哥拉斯便是早期演繹數學的例子。

05 柏拉圖與數學

希臘人逐步建立演繹的數學體系。他們的演繹方法不僅用於研究數學，也成為研究世界的方式，成為哲學家探尋真理的方式。

柏拉圖曾多次強調數學的重要性，他的作品中也滲透了演繹數學的思維方式。柏拉圖的雅典學園門前寫著“不懂幾何學者不得入內”，這裡蘊含著柏拉圖的深思。

當時數學和幾何學幾乎是同義詞。雅典學園的學習和研究不限於幾何學，更多是哲學與政治學，但在柏拉圖看來，幾何學的訓練使人具有更嚴謹的思維，同時幾何學的直覺幫助人研究哲學與政治學中的真理。

圖7 雅典學園

柏拉圖在《理想國》中，對世界進行劃分。可以感受到的世界一定處於變化之中，稱為“可感世界”；而世界不變的部分，一定是理念的一部分，稱為“理念世界”，它們永恆不變、神聖。理念世界更為本質，而可感世界不過是理念世界的模仿。

數學是理念世界的一部分，數學是通往善的橋樑。柏拉圖關於世界、城邦的很多描述，都如同使用了數學模型和演繹數學一般。例如洞穴隱喻、城邦分為三類人等模型，都體現著數學思維。

古希臘人逐漸形成演繹數學。他們從確鑿無疑的假設出發，經過嚴謹的證明，獲得關於數學、關於世界的真理，從而真正地掌握事物的本質。

參考文獻：

J.Gray. Ideas of space: Euclidean, non-Euclidean, and Relativistic[M].(2nd edition). Oxford: Clarendon Press. 1989.J.Fauvel and J.Gray (eds) (1987). The history of mathematics- a reader [M]. Macmillan, London.柏拉圖. 理想國. 郭斌和, 張竹明 譯. 北京: 商務印書館. 1986.

作者簡介

劉建新，科學技術史博士，信陽師範學院教師教育學院數學教師，主要研究方向為19世紀上半葉的微分幾何學史與非歐幾何學史。