數學靈感是人腦對數學對象結構關係的一種突發性的領悟。我們在解答數學題時，常常會有這樣的情況，在百思不得其解的情況下，靈感出現了，從而創造了“柳暗花明又一村”的境界。靈感與創造思維、靈感與數學發現究竟有何聯繫？我們可看看下面幾位數學家的數學靈感與數學發現的情況吧：

法國數學家笛卡兒，早就有把相互獨立的代數與幾何結合起來的願望，經過長時期的思考，但沒有找到合適的方法。1619年隨軍服務時他仍在思考。11月9日，在多瑙河畔的諾伊堡，他幾天來整日沉迷在思考之中而不得其解，入睡後連連作夢，在夢中迷迷糊糊地想到引人直角座標系的方法。第二天清晨，醒後立即將夢中所得加以整理，終於創造瞭解析幾何學，笛卡兒獲得了成功，但他醞釀時間為1617~1619年約為兩年的時間。

法國著名數學家龐加萊在談到他發現富克斯函數的變換方法時回憶說:“1880年有一次我離開當時居住的卡昂去作一次由礦業學校主辦的地質考察旅行。旅途的奔波使我忘掉了我的數學工作，抵達庫特塞斯後，我們乘公共馬車到各處去轉轉，正當我跨上踏板的瞬間，腦子裡突然出現了一個想法，即我曾用來定義富克斯函數的諸變換跟非歐幾何中的諸變換是一致的。”龐加萊回到住址後，馬上把這一結果加以了證明。這是在長時間緊張工作之後，思想放鬆時靈感的突然閃現，是經過了約一年時間的苦思之後才獲得成功的。

被稱為數學王子的高斯為證明某一算術定理，曾苦思冥想達兩年之久，後來突然得到一個想法，使他獲得成功。高斯回憶說:“終於在兩天前我成功....像閃電一樣，謎一下解開了。我自己也說不清楚是什麼導線把原先的知識和我成功的東西連接起來。”儘管解開這個謎的想法是突然來的，但高斯本人經過兩年的艱苦努力才為這個成功的到來作好了準備。

英國數學家哈密頓為推廣複數(a,b)，試圖建立三元數(a,b,c),結果失敗了。為此，哈密頓長期為這個問題所困擾，究竟該怎樣推廣二元數(a,b)呢？10多年來，他一直不放棄對這一課題的研究，一直在冥思苦想。直到1843年，突然靈感湧現：放棄將(a,b)推廣到三元數(a,b,c)的想法，而把(a,b)推廣到四元數(a,b,c,d)=a+bi+cj+dk的形式，四元數誕生了。後來，哈密頓回憶發現四元數的經過時說:“明天是四元數的第15個生日。1843年10月16日，當我和妻子步行到都柏林途中，來到勃洛翰橋的時候，它們就來到了人間，或者說出生了，發育成熟了。此時的我感到思想的電路接通了，而從中落下的火花就是i，j，k之間的基本方程。我當場拿出了筆記本，將這些做了記錄。智力應該緩口氣了，它已經糾纏我至少15年了！”

由以上對四位數學家數學靈感的出現而導致數學發現的描述，可以看出這種在長時期持續勞動後的某時刻出現的“突然領悟”是一種非邏輯的高層次的創造活動，亦即靈感思維活動。靈感是不能靠偶然的機遇、守株待兔式的消極等待可以得到的。必須是執著追求、鍥而不捨、百折不撓，才能有成功的一天。所謂 “靈機一動”、“眉頭一皺，計上心來”，都是經過長期堅持不懈地創造性勞動而“偶然得之”的，是緊張的創造性活動和長期艱苦勞動的結果，是在長期思索基礎上，經過量的積累而引起質的飛躍，只能意會，難以言傳。