佛羅里達中部的一個小鎮，七歲的小女孩瑪麗（ 麥肯納·格蕾絲飾）和她的舅舅弗蘭克 （克里斯·埃文斯飾）生活在一起，弗蘭克是一個修船工人，時不時接一些奇奇怪怪的活兒。瑪麗身邊有很多對她幫助很大、很積極正面的成人模範，包括弗蘭克的鄰居羅伯塔 （奧克塔維亞·斯賓瑟飾），還有她的老師邦妮 （珍妮·斯蕾特飾）。瑪麗也是個數學天才，擁有萬里挑一的聰明大腦。
弗蘭克媽媽伊芙琳 （琳賽·鄧肯飾）相信瑪麗屬於更適合成人的特殊學校，但弗蘭克希望瑪麗擁有一個更常規的童年——他相信這麼做是尊重他的姐姐——也就是瑪麗媽媽的遺願。這場爭論引發了一場關於瑪麗未來撫養權問題的法律官司 。
今天我們來探討一下，瑪麗在入學第1天的課堂上展示數學天賦的兩道口算題，普通人能否也像7歲的瑪麗那樣心算出來呢？
瑪麗從小熱愛數學，她用蘋果筆記本學習數學，還看過一大堆高等數學書籍，自修了微積分。她的舅舅(美國隊長)卻把她送到普通小學，希望她能夠過上快樂的普通人生活，避免走上孤獨痛苦的天才之路。
入學第1天，瑪麗對老師提出的簡單算術問題不屑一顧，極不耐煩，感到無聊。邦妮老師想挫一挫她的銳氣，叫瑪麗站起來回答問題。題目難度逐漸升級。當邦妮老師問57×135=多少時？老師也不知道答案，快速拿起計算器。算出的答案和瑪麗的回答絲毫不差。
更令邦妮老師震驚的是，瑪麗還算出了答案的平方根。
從易到難，我們先來探討一下，如何心算57×135=？最後再談談任何心算開平方。
因為電影只有答案沒有解題過程，我們只好自己推理，還原出天才少女大腦的解題步驟，看看普通人能否完成任務。
用十字交叉法心算乘法
很可能瑪麗是用十字交叉法來心算這道乘法題的。心算過程如下圖所示。
為什麼可以這樣算？
請看下圖，計算原理一目瞭然：
把135和57分解成130+5和50+7，就可以用十字交叉法來心算了。
格子乘法
考慮到瑪麗出生於西方數學世家的家庭背景，可能她會使用西方數學界人士熟悉的格子乘法。
所謂格子乘法，就是用幾條經線來代表一個乘數，用幾條緯線來代表另一個乘數，數一數經緯線形成的格子有多少交叉點就得到了答案。用漢字來舉例，計算3×3可以寫個“田”字，數一數有9個交叉點，就得到3×3=9。
現在我們用格子乘法來計算135×57。
在紙上畫140條經線，60條緯線，就得到8400個交叉點。減去多餘的交叉點，就可以得到答案。
多餘的5條經線產生了5×60=300個交叉點。
多餘的3條緯線產生了3×140=420個交叉點。
有3×5=15個交叉點重複計算。
所以列式計算結果如下：
8400—300—420+15
=8400—705
=7695
我國古代數學家怎樣開平方？
現在我們來看下一道題目：
我們把答案精度設定為小數點後保留一位有效數字。
我們先考慮古代數學家是怎樣開平方的？
我國古代數學家是用完全平方公式來開平方的，這個方法適合心算。
首先可以確定，7695的平方根整數部分是兩位數，十位數是8。
那麼個位數怎麼確定呢？
(a+b)²=a²+2ab+b²
=a²+b(2a+b)
a已經確定是80，確定b的思路如下：
正方形面積為7695，減去大正方形面積6400，還剩餘1295。
b(2a+b)<1295
b(160+b)<1295
可以看出b=7比較合適，b=8就大於1295了。
7(160+7)
=1120+49
=1169
現在確定了7695的平方根整數部分是87，下一步需要確定小數點後的十分位數字。
∵1295—1169=126
∴b(2a+b)<126
把a=87代入上式
b(174+b)<126
那麼，b應該是零點幾呢？
可以看出，b=0.8就大於126了，所以
b=7
計算一下：
0.7(174+0.7)
=70+49+2.8+0.49
=121.8+0.49
=122.29<126
答案保留小數點後一位，需要計算到小數點後兩位，再四捨五入保留一位有效數字。
不想繼續開方了，怎麼辦？
心算一下87.75²=87.75×87.75就可以了。
用十字交叉法來心算。
過程請看下圖。
於是知道7695的算術平方根保留小數點後一位是87.7。
這兩道題目解答完了，我認為普通人按照以上方法也可以心算出來。
開平方是一個無法迴避的問題，勾股定理，餘弦定理，二次方程，三斜求積術等等都涉及到開平方。下面我們來回顧一下開平方的歷史。
古希臘人如何開平方？
古巴比倫人，古希臘人(例如阿基米德，海倫)和電腦開平方的方法都是迭代法。
什麼是迭代法？請看下圖：
迭代法開平方包含了計算無理數的一般思想，即用有理數逐步逼近無理數的逐次逼近法。逐次逼近法是廣泛用於科學計算的普遍方法。迭代法的精髓是收斂和自動糾錯。即使初值錯了，最後也能計算出比較接近的近似值。
應當如何設定平方根的初值呢？推薦一個好用的近似公式，請看下圖：
計算平方根的近似公式
例題（1）：計算17的算術平方根
容易知道，根號17的整數部分是4，代入上圖的公式，口算可得下圖結果：
計算根號17的初值
取初值為4.125，用迭代法開平方，過程如下所示：
X₀=4.125
【4+（17-4×4）÷（2×4）=4.125】
X₁=4.1231060606
(X₀+17/X₀)÷2=X₁=(4.125+4.12121212121)÷2=4.1231060606 （17÷4.125=4.12121212121）
X₂=4.12310562561768
（17÷4.12310606060606=4.12310519062931）
X₃=4.12310562561766
【X₃=(X₂+17/X₂）÷2】（17÷4.12310562561768=4.12310562561764）
用Windows 10系統自帶科學計算器對比結果如下：
根號17=4.1231056256176605498214098559741
迭代法就是除法和求算術平均數這兩種操作的迴圈。
牛頓如何開平方？
以牛頓提出的廣義二項式定理為基礎的無窮級數法開平方。
大英圖書館前現代雕塑：計算中的牛頓
【無窮級數法】
1661年夏，牛頓離開家鄉烏爾索普，就讀劍橋大學三一學院。1663年，牛頓開始閱讀歐幾里得《幾何原本》，之後攻讀笛卡爾的《幾何學》（勒內·笛卡爾引入座標系，創立解析幾何，1637年《幾何學》與他的《方法論》一道發表，為以後牛頓和萊布尼茨分別提出微積分學提供了基礎）。1665年初，牛頓發現了廣義二項式定理，之後提出了“流數法”（微分學）。1666年，牛頓發明了“逆流數法”（積分學）。雖然當時的牛頓只是劍橋大學的無名之輩，但他為數學做出的貢獻和非凡成就卻堪稱偉大。
如何用一句話來描述二項式定理？
將“兩數之和”的“任意實數次冪”展開成“和”的形式。
1654年，帕斯卡建立了一般正整數次冪的二項式定理。1665年，牛頓在前人研究的基礎上繼續探索指數為分數和負數的情況，發現了廣義二項式定理，把二項式定理從特殊推廣到一般，拓展到無窮級數，這是一項非常了不起的成就。牛頓發現，利用無窮級數展開，不但求解面積問題時十分方便，而且可以用於開方運算和對數計算。這對牛頓以後的繁重的天文計算十分有幫助。牛頓曾把一個對數展開為無窮級數，計算到小數點後第55位。
二項展開式
上圖是無窮級數法的數學原理。開平方的展開式見下圖：
開平方和開平方取倒數的二項展開式
請欣賞牛頓的一道例題，求根號7的近似值。
截圖1
截圖2
截圖3
下面我們再看一道例題：用無窮級數法求215的平方根。
215開平方
電影劇照
外婆出場了。
漂亮得不像實力派。
黑板上的QED是拉丁文的縮寫，相當於中文的證訖或證畢。
這部電影挺溫暖的，推薦大家觀看。
表演了16位數開14次方，現場觀眾歎為觀止。
還有更厲害的嗎？
有，印度婦女沙昆塔拉計算201位數開23次方，答案是9位數。她的速度打敗了當時世界最好的電腦。
華羅庚在雜誌發表文章，解剖了速算的奧秘。請閱讀下面的連結：
科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。