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在那些對比特幣價格進行的預測中，5.5萬美元是一個很多人用的數字。這一預測數字來自PlanB 2019年3月23日在Medium發表的一篇論文“根據稀缺性來評估比特幣價值”。PlanB發現，以對數形式表示的存量/存量比（SF， 稀缺性的量化形式）和市值關係圖中，黃金、白銀、比特幣處在一條迴歸直線上。

目前黃金存量/存量比（SF）為62，市值為8.5萬億美元；白銀的存量/存量比（SF）為22，市值為3080億美元。2020年5月份減半後，比特幣存量/存量比（SF）將由25升至50，因此預估比特幣市值會升至1萬億美元，相當於比特幣價格55000美元。

金色財經翻譯此文以犒讀者，以下為譯文。

引言

“根據稀缺性來評估比特幣價值”一文是比特幣鏈上分析很重要的論文，因為它揭示出比特幣的稀缺性與市值之間有著很強的冪律（power law）關係。作者PlanB指出這種關係很可能是因果性的關係，這意味著稀缺性決定著比特幣的價格和市值。事實很可能的確如此！

對每一篇關於比特幣的由資料驅動的論文，如果能拿到資料的話，我總是嘗試重做分析。因為這很有趣，而且通常我也能學到很多東西。一般我也會發現與原作者結果不一致的地方，這也是很有意思的。

在本文，我用了更高時間解析度的資料來重新執行PlanB的模型，但是最終結果並沒有什麼不同：我準確地再現了PlanB的結果。PlanB 厲害！

資料採集

在PlanB原始論文中，使用的比特幣資料來源只是比特幣市值和挖出的比特幣數量。這些資料很容易在blockchain.com找到和提取。

上述資料集裡的比特幣市值在2010年8月17日之前均為0，因此PlanB引用了比特幣一些非常早期的報價：

第一個資料來自Martti Malmi的交易：

@Martti Malmi：我從備份郵件中找出了比特幣對美元的交易。2009年10月12日我以502美元總價賣出5050枚比特幣。

這是在2009年10月12日，當時有1243550個比特幣在流通。因此，比特幣市值是1243550 * 5.02/5050 = 1236美元

第二個資料來自“ 比特幣第一筆報價是0.003美元，發生在2010年3月的BitcoinMarket上的”，我無法追蹤到其原始出處，但“比特幣十年：起源，事實和影象”這篇文章裡有提到。

由於我只找到這一月而沒有確切的日期，所以我將2019年3月14日作為折中。當時有2264000個比特幣在流通。因此，市值為2264000 * 0.003 = 6792美元。

第三個資料則是著名的披薩交易。

2010年5月22日，有2852150比特幣在流通。據報道這兩個披薩價值41美元，所以市值是2852150 * 41/10000 = 11694美元。

資料分析

根據上面的比特幣流通（bc，Bitcoins in Circulation）資料，年化存量/存量比（SF）計算公式如下：

（365 * Δbc / Δ date * 365）/ bc

其中Δbc是兩個連續日期間的bc之差，而Δdate是這些連續日期之間的天數。

圖1：比特幣存量/流量（SF）vs. 距比特幣創世區塊天數

y軸對數座標下則為：

圖2：和圖1資料相同，只是y軸用對數表示

比特幣市值

圖3：對數座標下的比特幣市值（SF） vs. 距比特幣創世區塊天數。

注意左下角的三個單點資料，來自“資料考古”。

現在有了資料，我們橫縱座標均以對數座標繪製存量/流量比（SF）和市值的關係圖，座標軸截距與PlanB的圖相同，並且捨棄2019年3月22日（PlanB的論文發表之日）後的所有資料。與PlanB的圖不同，本文圖表中的點用“時間線”相連。

圖4：存量/流量比（SF）和vs. 市值圖，與PlanB使用的比例相同。

更高的時間解析度是顯而易見的。比較此圖表與下面PlanB的點“簇”。

圖5：PlanB的原始圖

由於上圖中有許多資料點，下面是放大版本，以使連線點的（時間）線更清晰可見。

圖6：圖4的放大版，以更好地檢視連線資料點的時間線

請注意，PlanB的圖和我的幾乎相同，包括存量/流量比（SF）在1到2之間有一些不尋常的偏離。我的圖表清楚地顯示了比特幣減半後SF的突變，在SF = 5和SF = 15附近。在PlanB的圖表中，這種突變用點的顏色由藍色過渡到紅色來表示的。

上面圖中，使用的資料只到PlanB發表論文的2019年3月22日。現在我有更多的資料。再新增幾個月的資料，也幾乎看不到差異，但我還是做了圖，並配上擬合的迴歸函式：

圖7：同一個圖但包含了截止發稿的資料。在前圖中，出於比較目的，資料只用到PlanB論文發表之日。

請注意，與前圖相比，本圖右上角資料叢集更大，這將方程的斜率提高了一點。

對於那些只關注比特幣價格而不是市值的人，我還對比特幣價格和存量/流量比（SF）進行了同樣的分析，比特幣價格資料來自y軸資料除以比特幣流通量。得到的圖形幾乎沒有變化，當然除了y軸座標刻度和擬合曲線的引數：

圖8：相同的分析，但Y軸是比特幣價格。注意，得到的圖形幾乎沒有變化，但公式變化較大。

PlanB還把比特幣市值和存量/流量比都以對數形式作為座標表放在一張圖中，座標刻度的最小值和最大值根據模型來調整。下圖是我的版本，顯示了直到9月20日的所有資料。

比特幣市值：

圖9：紅色的是存量/流量比（SF），藍色的是市值，都是自己的對數形式，並根據最佳擬合模型選擇左右座標的最小值和最大值。這是另一種表示兩者之間相關性的方法。

以及比特幣價格：

圖10：紅色的是SF，綠色的是價格，都是自己的對數形式，並根據最佳擬合模型選擇左右座標的最小值和最大值。

結論

我非常準確地重現了PlanB的圖和結果。

ln（y）= 3.30894 * ln（x）+ 14.5618; R平方= 0.9034（我的結果）

與

ln（y）= 3.31954 * ln（x）+ 14.6227; R平方= 0.9473（PlanB的結果）

PlanB的圖中的資料點比我少得多，這是因為他是以每月或每季度的解析度提取存量/流量比（SF）和市值資料，而我則使用了blockchain.com資料集裡可用的最大解析度。這也是我的R平方值低於PlanB的可能原因。我抓住了存量/流量比（SF）和市值的每一次偏移，平均而言，這些偏移比PlanB的稀疏資料集裡的偏移稍高。

與PlanB的論文相比，我對三個早期的比特幣價格估算離迴歸線更遠。我無法進一步調查，因為PlanB並未給出根據三個初始價格點對市值的準確計算。另外，PlanB描述他用的是“插值”方法。我沒有插值。我所做的就是在blockchain.com資料集的前面新增三個點以及相應的日期。省略這三個價格點並不會改變結果引數：

ln（y）= 3.28275 * ln（x）+ 14.6241; R平方= 0.9015（我的結果，沒有3個初始資料點）

我還計算了比特幣存量/流量比（SF）與時間的關係，因為它可能有助於我們更好地理解在存量/流量比（SF）與市值圖中那麼清晰可見的群“簇”現象。與PlanB相反，我沒有用顏色標記資料來顯示比特幣減半，而是用連線線來顯示時間軌跡。

使用截止發稿的所有資料，公式為：

ln（y）= 3.34214 * ln（x）+ 14.5219; Rsquared = 0.9092（所有資料，截止9月20日）

對價格，公式為：

ln（y）= 2.96043 * ln（x）-0.98374; Rsquared = 0.8971（所有資料，截止9月20日）

提醒

1、比特幣的稀缺性隨著時間而增加，比特幣就是這麼設計的。

2、總體而言，比特幣的價格和市值都隨著時間的推移而上升。儘管這是比特幣協議所預期的，但仍然需要市場參與者持續行動來使它發生。到現在為止，大多數時間是在上升（買入）。

3、因此稀缺性和市值都在上升。當在對數尺度上以它們作為橫縱座標作圖時，會導致對陡峭的線性迴歸。它顯示相關性，但不表示因果關係。因果關係的證據需要來自其他地方（例如，證明黃金、白銀和其他商品都位於同一直線上）。這就是PlanB的論文所證明的。本質上不是相關性。

比特幣稀缺性更合適的決定因素？

但還存在一個問題，冪律關係有時候說明兩者有著強烈的關係，但它可能反映的是它們背後有一個共同因素同時決定著它們。

PlanB得到的是稀缺性決定著市值。真的如此嗎？

在我這篇論文裡，有三個變數：1、時間，從創世區塊開始；2、稀缺性，存量/流量比；3、市值，價格x流通量。

多相關分析可以同時分析三到多個變數。偏相關就是一種多相關分析方法，是在排除了其他變數的影響下計算變數間的相關係數。相關性的數學符號是希臘字母ρ（rho）。兩個變數X和Y之間的相關性寫為ρ（X，Y）。偏相關記為ρ（X，Y·Z）。通常用R代替ρ及其平方值R²。

可以從三個正相關性計算出三個變數的偏相關性：

截止9月20日的所有資料，時間，稀缺性和市值（Time, Scarcity and MarketCap）這三個變數，有以下相關性和偏相關性值：

ρ (Time, MarketCap) = 0.969ρ (Time, Scarcity) = 0.978ρ (Scarcity, MarketCap) = 0.949ρ (Time, MarketCap · Scarcity) = 0.621ρ (Time, Scarcity · MarketCap) = 0.748ρ (Scarcity, MarketCap · Time) = 0.043

角度的Cos值為偏相關係數。

結論：時間（注：減半等比特幣共識）在很大程度上決定著比特幣稀缺性和市值。這也是稀缺性和市值之間高度相關的原因。看起來並不是稀缺性決定著市值。

文章來源：Revisiting PlanB’s Bitcoin Scarcity Model with a higher time resolution

A more modest role for Scarcity on bitcoin?